数III 定積分教えてください

質問

（１）∫（０～１/２）　√（１－４ｘ＾２）ｄｘ
（２）∫（０～２）　ｄｘ/（９－ｘ＾２）
（３）∫（３～４）　ｄｘ/（ｘ＾２－２ｘ）
（４）∫（０～１）　（4＋ｘ）/√（４－ｘ＾２）ｄｘ
（５）∫（０～π/3 ） {tanx/(1+cosx)}dx
（６）∫（π /6～π/3 ）　{（sinx+cosx)/(sinx cosx)}dx
式変形を教えてください。
詳しいとありがたいです。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#1～#3です。

A#3の補足質問について

>（６）の(sin(x)+cos(x))/(sin(x) cos(x))
=(1/2)(sin(x))'*{1/(1-sin(x))+1/(1+sin(x))}
-(1/2)(cos(x))'*{1/(1-cos(x))+1/(1+cos(x))}　...(★）
と分解するがよく分かりません。

(sin(x)+cos(x))/(sin(x) cos(x))
=sin(x)/(sin(x) cos(x)) +cos(x)/(sin(x) cos(x))
=1/cos(x) + 1/sin(x) ...(A)
ここで
1/cos(x)=cos(x)/cos^2(x)
=cos(x)/{1-sin^2(x)}
={sin(x)}'*[1/{(1-sin(x))(1+sin(x))}]
={sin(x)}'*(1/2)[1/{1-sin(x)} +1/{1+sin(x)}] ...(B)

1/sin(x)=sin(x)/sin^2(x)
=sin(x)/{1-cos^2(x)}
=-{cos(x)}'*[1/{(1-cos(x))(1+cos(x))}]
=-{cos(x)}'*(1/2)[1/{1-cos(x)} +1/{1+cos(x)}] ...(C)

(B),(C)を（A）に代入し(1/2)を前に出せば.(★）の式になります。

これでいいですか？

（重要）∫dx/cos(x) や　∫dx/sin(x)の積分法で使われる式の変形なので
セットにして覚えて置くようにしたいね。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

info22_

#1,#2です。

A#2の補足について

(2)
>1/(9-x^2)=1/((3-x)(3+x))
>=(1/6){1/(x-3) -1/(x+3)}
これ以降は間違いがありますので
以下で差し替えて下さい。

=-(1/6){1/(x-3) -1/(x+3)}
=(1/6){1/(x+3) -1/(x-3)}
と部分分数分解する。従って
I=(1/6){log|x+3|-log|x-3|}[0→2]
=(1/6)[log(x+3)-log(3-x)][0→2]
=(1/6)(log5-log3-log1+log3)
=(1/6)log5
(以上の対数は底がeの自然対数です。）

(4)
x=2sin(t)と変数変換すると
x：[0→1]　⇒　t：[0→π/6]

与式=∫[0→π/6] {4+2sin(t)}/{2cos(t)} dt
=∫[0→π/6]{2/cos(t)}dt +∫[0→π/6] {sin(t)/cos(t)} dt
=∫[0→π/6] 2cos(t)/{1-sin^2(t)}dt
+∫[0→π/6] -{cos(t)}'*{1/cos(t)} dt
=I1+I2とおくと
I1=∫[0→π/6] 2cos(t)/{1-sin^2(t)}dt
u=sin(t)と変数変換すると　du=cos(t)dt
I1=∫[0→1/2] 2/(1-u^2) du
=∫[0→1/2] {1/(u+1) -1/(u-1)} du
=[log(u+1)-log(1-u)][0→1/2]
=log(3/2)-log(1/2)
=log3

また
I2=∫[0→π/6] -{cos(t)}'*{1/cos(t)} dt
=[-log{cos(t)}][0→π/6]
=log1-log(√3/2)
=log2-(1/2)log3
従って
与式=I1+I2
=log3+log2-(1/2)log3
=log2+(1/2)log3
(以上の対数は底がeの自然対数とする)

(5)
∫[0→π/3] {tan(x)/(1+cos(x))}dx
>部分分数展開がうまくいきません。何をf(x),g´(x)と置いたかを教えてください。

tan(x)/(1+cos(x))=sin(x)/{cos(x)(1+cos(x))}
=-(cos(x))'*{1/cos(x) -1/(1+cos(x))}
と部分分数展開する。
合成関数の積分公式を適用する。
前半は　f(x)=1/x,F(x)=log|x|,g(x)=cos(x),g'(x)={cos(x)}'とおくと
I1=-∫[0→π/3] (cos(x))'*{1/cos(x)dx
=-[log|cos(x)|][0→π/3]

後半は　f(x)=1/(1+x),F(x)=log|1+x|,g(x)=cos(x),g'(x)={cos(x)}'とおくと
I2=∫[0→π/3] (cos(x))'*{1/(1+cos(x))}
=[log|1+cos(x)|][0→π/3]

I=I1+I2
=[-log|cos(x)|+log|1+cos(x)|] [0→π/3]
=[-log{cos(x)}+log{1+cos(x)}] [0→π/3]
=log1 -log(1/2) +log(3/2)-log2
=log2+log3-2log2
=log3-log2
(以上の対数は底がeの自然対数です。）

(6)
(sin(x)+cos(x))/(sin(x) cos(x))
=1/cos(x) + 1/sin(x)
=cos(x)/{1-sin^2(x)} +sin(x)/{1-cos^2(x)}
=(1/2)(sin(x))'*{1/(1-sin(x))+1/(1+sin(x))}
-(1/2)(cos(x))'*{1/(1-cos(x))+1/(1+cos(x))}
と分解する。
>何をf(x),g´(x)と置いたかを教えてください。

合成関数の積分公式を適用する。
前半の
I1=(1/2)∫[π/6→π/3](sin(x))'*{1/(1-sin(x))+1/(1+sin(x))}dx
は f(x)=1/(1-x) +1/(1+x),F(x)=-log|1-x|+log|1+x|,g(x)=sin(x),g'(x)=(sin(x))'とおく。すると
I1=(1/2)[-log|1-sin(x)|+log|1+sin(x)|][π/6→π/3]
=(1/2)[log(1/2)-log{1-(√3/2)}]
=(1/2)log(2-√3)
後半の
I2=-(1/2)∫[π/6→π/3](cos(x))'*{1/(1-cos(x))+1/(1+cos(x))}dx
は f(x)=1/(1-x) +1/(1+x),F(x)=-log|1-x|+log|1+x|,g(x)=cos(x),g'(x)=(cos(x))'とおく。すると
I2=-(1/2)[-log|1-cos(x)|+log|1+cos(x)|][π/6→π/3]
=(1/2)[log{1-cos(x)}-log{1+cos(x)}][π/6→π/3]
=(1/2)[log(1/2)-log{1-(√3/2)}-log(3/2)+log{1+(√3/2)}]
=(1/2){-log(2-√3)-log3+log(2+√3)}
=(1/2)[log{(2+√3)/(2-√3)}-log3]
=log(2+√3)-(1/2)log3

I=I1+I2
=(1/2)log(2-√3)+log(2+√3)-(1/2)log3
=-(1/2)log(2+√3)+log(2+√3)-(1/2)log3
=(1/2)log(2+√3)-(1/2)log3

(以上の対数は底がeの自然対数です。)

補足

何度もすいません。
（６）の(sin(x)+cos(x))/(sin(x) cos(x))
=(1/2)(sin(x))'*{1/(1-sin(x))+1/(1+sin(x))}
-(1/2)(cos(x))'*{1/(1-cos(x))+1/(1+cos(x))}
と分解するがよく分かりません。
教えてください。

回答No.2

info22_

全問にヒントをあげ2日経ちましたが何かやってみましたか？

少しでも自力でやって見ることが大切です。
それとも丸回答を期待しているのですか？

取り敢えず、(1)～(3)の解答をしておきますので、自力解答と比較して見てください。

(1)
x=(1/2)sin(t)と変数変換すると
x:[0→1/2] ⇒ t:[0→π/2] より

I=(1/2)∫[0→π/2] (cos(t))^2 dt
=(1/4)∫[0→π/2] {1+cos(2t)} dtI
=(1/4)[t+sin(2t)/2] [0→π/2]
=π/8

(2)
1/(9-x^2)=1/((3-x)(3+x))=(1/6){1/(x-3) -1/(x+3)}
と部分分数分解する。従って
I=(1/6)[log|(x-3)/(x+1)|] [0→2]
=-log(3)/3

(3)
1/(x^2-2x)=(1/2){1/(x-2) -1/x}
と部分分数展開する。
I=(1/2)∫[3→4] ){1/(x-2) -1/x}dx=(1/2)[log|(x-2)/x|] [3→4]
=(1/2){log(1/2)-log(1/3)}
=(1/2)log(3/2)

(4)～(6)でヒントをもとに自力でやってみて下さい。詰まった場合は、途中計算をつけて補足質問して下さい。

補足

丁寧にありがとうございます。
（４）～（６）詳しく解説していただけませんか？
（４）ヒント通り置き換えるとθ０→π/６　
与式＝∫［０→π/６］{(４＋２sinθ）/２cosθ}dθ
＝∫［０→π/６］(２/cosθ+tanθ)dθ ここから先がうまくいきません。
（５）部分分数展開がうまくいきません。何をf(x),g´(x)と置いたかを教えてください。
（６）
　　　(1/2)(sin(x))'*{1/(1-sin(x))+1/(1+sin(x))}
-(1/2)(cos(x))'*{1/(1-cos(x))+1/(1+cos(x))}
と分解する。
の部分がよく分かりません。何をf(x),g´(x)と置いたかを教えてください。
特に（５）、（６）を詳しく解説していただけませんか？

（２）は1/(9-x^2)=1/((3-x)(3+x))=ー(1/6){1/(x-3) -1/(x+3)}になりますか？
（１）、（３）はヒントで解くことが出来ました。

回答No.1

info22_

分らない箇所を書いてください。

ヒント
(1) x=(1/2)sin(t)と変数変換すると
I=(1/2)∫[0→π/2] (cos(t))^2 dt
=(1/4)∫[0→π/2] 1+cos(2t) dt

(2) 1/((3-x)(3+x))=(1/6){1/(x-3) -1/(x+3)}
と部分分数分解する。

(3) 1/(x^2-2x)=(1/2){1/(x-2) -1/x}
と部分分数展開する。

(4)x=2sin(t)と変数変換する。

(5)tan(x)/(1+cos(x))=sin(x)/{cos(x)(1+cos(x))}
=-(cos(x))'*{1/cos(x) -1/(1+cos(x))}
と部分分数展開すると
I=-[log|cos(x)|-log|1+cos(x)|] [0→π/3]
= ...

(6) (sin(x)+cos(x))/(sin(x) cos(x))
=1/cos(x) + 1/sin(x)
=cos(x)/{1-sin^2(x)} +sin(x)/{1-cos^2(x)}
=(1/2)(sin(x))'*{1/(1-sin(x))+1/(1+sin(x))}
-(1/2)(cos(x))'*{1/(1-cos(x))+1/(1+cos(x))}
と分解する。