微分方程式の解 積分 ∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|) dx

質問

cosD^(2)y+secxDy+(secxtanx+cosx)y=2sec^(2)xtanx

D[cosxDy+(secx+sinx)y]=2sec^(2)xtanx

cosxDy+(secx+sinx)y=sec^(2)x

Dy+(sec^(2)x+tanx)y=sec^(3)x

ｙ=e^(-α)*｛∫sec^(3)x*e^α dx +C} （α＝tanx+log|cosx|）

tanx=βとおいてみたり,部分積分を試みたのですが
∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|) dxのが求められません。
解き方わかった方教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

被積分関数は周期πの関数であることから
|x|<π/2で考えれば良いと考えられる。
この時 cos(x)>0となる。

∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|)dx
=∫e^(tan x)/(cos x)^2 dx
=∫(tan x)'*e^(tan x)dx= ←後は分かりますね。

積分範囲|x|>π/2の積分は
周期関数の性質f(x±nπ)=f(x)を利用すれば
|x|<π/2のf(x)の積分に変換できますね。

ということで不定積分で考える場合は
|x|<π/2で考えておけばいいでしょう。

定積分する際には上記のように周期関数の性質を利用して
|x|>π/2の積分を|x|<π/2での積分に変換して積分すれば、任意区間での定積分が可能になります。

お礼

細かい回答ありがとうございした

cosx>0となる説明助かりました＾＾

回答No.1

stomachman

なんだかよく分からないけど、結局、xを実数として

　F(x)　=　∫((sec(x))^3) exp(tan(x)) |cos(x)| dx

を計算したいってことですか？

　G(x) = ∫((sec(x))^3) exp(tan(x)) cos(x) dx

なら計算できるでしょう。すると、

　F(x) = sgn(cos(x)) G(x) + C

ここに、sgn( )は符号関数、すなわち

　sgn( y) = （y>0なら1、y<0なら-1）

です。

お礼

朝早くからありがとうございました

exp(log|cosx|)=|cosx|になることをすっかり忘れてました＾＾；

おかげで助かりました