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高校 積分について
2∫sinx (sinx)' dx = [sin^2x] ∫(e^x ＋ 1)^2 (e^x ＋ 1) dx = [ 1/3 (e^x ＋ 1 ) ^3 ] ∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ] 積分と微分が逆の計算ということより、 ∫と( )' が打ち消しあうと思っていたのですが、 1/3、1/2 はどこからでてきたものなんですか？
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一般論として y=f(x) を含む積分に関する以下の公式が導けます。 dy^n/dx=ny^(n-1)dy/dx の両辺をxで積分して ∫y^(n-1)y'dx=y^n/n+c または ∫f(x)^(n-1)f'(x)dx=f(x)^n/n+c (1)2∫sinx (sinx)' dx = [sin^2x] f(x)=sinx, n=2 (3)∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ] f(x)=tanx, n=2 (2)∫(e^x ＋ 1)^2 (e^x ＋ 1) dx = [ 1/3 (e^x ＋ 1 ) ^3 ] 間違いです ∫(e^x ＋ 1)^2 e^x dx = [ 1/3 (e^x ＋ 1 ) ^3 ] f(x)=e^x+1, n=3
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- ferien
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ANo.1です。補足について ∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ] = 1/6 置換積分ならtanx=tから ＞x:0 → π/6 積分範囲があるとは知りませんでした。質問文に書かれていないことについては考えようがありません。 ＞t:0 → 1/√3となると思うのですが、回答は それでいいと思います。 ＞∫ 0 → π/6 ＞[ ] 0 → π/6 ＞tanx=tと置いたのに積分範囲は変化してないし 積分範囲のことが分かっていれば、このような回答はしません。積分範囲はないと思っていました。 ＞∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ]の変形はどうなっているのですか 積分範囲があるのであれば、 ∫［０～1/√3｝ｔｄｔ ＝「(1/2)ｔ^2］［０～1/√3］ ＝(1/2)・(1/3) ＝１／６ になります。
お礼
積分範囲をつけてもつけなくても一緒だと勝手に判断してました。 回答ありがとうございました。
- ferien
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＞積分と微分が逆の計算ということより、 ＞∫と( )' が打ち消しあうと思っていたのですが、 ＞1/3、1/2 はどこからでてきたものなんですか？ 置換積分してみると分かります。 ＞2∫sinx (sinx)' dx = [sin^2x] sinｘ＝ｔとおくと、（sinｘ）'ｄｘ＝ｄｔ ＝２∫ｔｄｔ ＝２×(1/2)ｔ^2＋Ｃ ＝ｔ^2＋Ｃ ＞∫(e^x ＋ 1)^2 (e^x ＋ 1) dx = [ 1/3 (e^x ＋ 1 ) ^3 ] e^x ＋ 1＝ｔとおくと、（e^x ＋ 1）'ｄｘ＝ｄｔ ＝∫ｔ^2ｄｔ ＝(1/3)ｔ^3＋Ｃ ＞∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ] tanｘ＝ｔとおくと、（tanｘ）'ｄｘ＝ｄｔ ∫ｔｄｔ ＝(1/2)ｔ^2＋Ｃ です。
補足
∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ] = 1/6 置換積分ならtanx=tから x:0 → π/6 t:0 → 1/√3となると思うのですが、回答は ∫ 0 → π/6 [ ] 0 → π/6 tanx=tと置いたのに積分範囲は変化してないし ∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ]の変形はどうなっているのですか
お礼
今度から∫f(x)^(n-1)f'(x)dx=f(x)^n/n+c使えそうです。 ありがとうございました。