積分

質問

∫sinx/(sinx+cosx+1)dx をtanx/2=tと置換して計算する利点はなんですか？

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の質問の解答

>∫t/(1+t^2)dtの答えは(1/2)log(1+t^2)+C で合っていますか？
不定積分なので積分定数Cを加えれば、合っていますよ。

積分が正しいかどうかの確認は、積分結果の関数を微分して被積分関数になることで確認できます。覚えておいて下さい。
{(1/2)log(1+t^2)}'=(1/2){1/(1+t^2)}(1+t^2)'=(1/2)(2t)/(1+t^2)=t/(1+t^2)
被積分関数になりました。ということは積分が合っているということです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

info22_

>tanx/2=tと置換して計算する利点はなんですか？
この置換によって非積分関数が有理関数（分子と分母が整式の分数関数）の積分に変換でき、それを部分分数展開すれば簡単な積分公式が適用できて積分が完了する」といったほとんど機械的に積分をすることができる。つまり簡単な数学的基礎と基本的な積分公式を覚えていれば（あるいは積分公式表をみれば）誰でも積分できてしまうといった利点がある。必ず積分できるといった万能な方法です。
他の置換法は、ある場合はうまく積分できる場合もあるが、うまく積分できない場合もあって万能な置換法ではない。

ちなみにtanx/2=tという置換を用いれば
dx=2dt/(1+t^2)
sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
となることから

>∫sinx/(sinx+cosx+1)dx
=∫2t/{(t+1)(1+t^2)}dt
=∫t/(1+t^2)dt+∫1/(1+t^2)dt-∫1/(t+1)dt
という積分の和に分解できます。

後は積分公式を適用するだけですね。

補足

∫t/(1+t^2)dtの答えは1/2log(1+t^2)で合っていますか？

回答No.1

tomaruna2011

自分なりの意見をここで言えるだけの学問をしておいても良かったなと思った。

　何も言えないのが悔しい。