I=∫dx/(1+tan(x))
tan(x)=tとおくと，dx/cos^2(x)=dtよりdx=dt/(1+t^2)となるので，
I=∫dt/((1+t)(1+t^2))
となります．ここで被積分関数を部分分数展開するために，
1/((1+t)(1+t^2))=a/(1+t)+(b+ct)/(1+t^2)
とおきます．両辺に(1+t)(1+t^2)をかけてa,b,cを求めると，
1=a(1+t^2)+(b+ct)(1+t)
→ 1=(a+b)+(b+c)t+(a+c)t^2
→ a+b=1, b+c=0, a+c=0
→ a=b=1/2, c=-1/2
となります．よって，
I=∫[(1/2)*{1/(1+t)}+(1/2)*{(1-t)/(1+t^2)}]dt
=∫[(1/2)*{1/(1+t)}+(1/2)*{1/(1+t^2)}-(1/4){(1+t^2)'/(1+t^2)}]dt （←「'」はtでの微分）
=(1/2)*log(1+t)+(1/2)*Arctan(t)-(1/4)*log(1+t^2)+C
=(1/2)*log(1+tan(x))+(1/2)*Arctan(tan(x))-(1/4)*log(1+tan^2(x))+C
=(1/2)*log(1+tan(x))+(1/2)x+(1/2)*log(cos(x))+C
=(1/2)*log{(1+tan(x))*cos(x)}+(1/2)x+C
=(1/2)*log{cos(x)+sin(x)}+(1/2)x+C
となります．
計算量が多いですが，特に工夫しなければいけない点もないので，積分計算の基本方針に従って地道に計算していって下さい．
示されている解答と少し違うような気がしますが，本結果は下の「参考ＵＲＬ」のリンク先での計算結果と一致しているので，これで正しいと思います．
お礼
すいません。答えを間違えて載せてました。 無事解けました、ありがとうございました。