数III 積分教えてください

質問

（１）∫｛(cosｘ)＾３｝/(1-sinx)ｄｘ
（２）∫ｘ２＾ｘ　ｄｘ
（3）∫（２ｘ+１）/（ｘ＾２　-4）ｄｘ

いろいろ試してみましたがうまくいきません。
教えてください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1)
∫{(cos(x))^3}/(1-sin(x))ｄx
=∫{1-(sin(x))^2}cos(x)/(1-sin(x))ｄx
(1+sin(x))で約分して
=∫{1+sin(x)}cos(x)ｄx
=∫{1+sin(x)}(sin(x))'ｄx
=sin(x)+(1/2)(sin(x))^2 +C

(2)
∫x 2^x dx
=∫x e^(xlog2) dx
部分積分して
=x{e^(xlog2)}/log2 -∫{e^(xlog2)}/log2 dx
=(x/log2){e^(xlog2)}-{e^(xlog2)}/(log2)^2
e^(xlog2)=2^xに戻して
=x(2^x)/log2 -(2^x)/(log2)^2
=(2^x)(xlog2 -1)/(log2)^2 +C

(3)
∫(2x+1)/(x^2 -4)dx
部分分数展開して
=∫{(3/4)/(x+2) +(5/4)/(x-2)}dx
=(3/4)log|x+2| +(5/4)log|x-2| +C

回答No.2

rnakamra

(1)sinx=tとおいて置換積分を行う。
(cosx)^3=(cosx)^2*cosx={1-(sinx)^2}*cosx=(1-t^2)*dt/dx
であることを利用すればよいでしょう。

(2)部分積分で頭のxを消してしまいましょう。
∫f*g'dx=fg-∫f'*gdx
ですのでf=x,g'=2^xとおいてしまえばよいのです。すると右辺の積分の段階でf'=1となり簡単積分できます。

(3)部分分数に分ける。
(2x+1)?(x^2-4)=(2x+1)/{(x+2)(x-2)}=a/(x+2)+b/(x-2)
となるように部分分数分解します。これなら積分はできると思います。

回答No.1

Tacosan

どう「いろいろ試してみ」て, どう「うまくい」かないの?

補足

式の変形がうまくいきません。