初等解析学 分母分子の両方に変数がある最大・最小

質問

次のような問題を解いていての疑問です。

m>0,a.0,b>0とする。
OP( a+b/m , ma+b )　の時、OPの長さの最小値を求めよ

|OP|=f(m)とする時、
f(m)^2=(a+b/m)^2+(ma+b)^2より
f ' (m)=(ma+b)(a-b/m^3)

となるところまでは求まりました。(ここまで正しいのは参考書で確認済み)

ところで、f'(m)のグラフについて、その形がいまいち判別不明です。
これでは、極値がまとまっても、その最大・最小を求めることができません。
※今回はたまたま、条件に適合するのがm=(b/a)^(1/3)だけですが、これもグラフ概形が分からないと最小値かどうか判別不明です。(m<0の時点で値がマイナスになるので、減少関数→その中で極値だから、極大→それまで減少で、そこが最小値ならいいな、と期待するくらいしかできない気がします。)

どのようにして、この極値(b/a)^(1/3)が極大値で、f(m)の最小値を作るmだと知ることができるのでしょうか?

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

f の増減と f' の増減が
途中でゴッチャになった
んだろうね。

回答No.4

Tacosan

最後の「この極値(b/a)^(1/3)が極大値で、f(m)の最小値を作るmだと知ることができる」のところ, 何をいっているのかさっぱりわかりません. ということでこの部分は捨ておいて, と.

a=1,b=2,m=1 のとき f'(m) < 0 ですねぇ. で? 何か問題ですか?

回答No.3

alice_44

m を増やすと
m^3 が増えて
b/m^3 が減って
a-b/m^3 は増える
…というのが見て一瞬で判らないタイプの人は、
素直に
(d/dm)(a-b/m^3) = 3b/m^2 > 0 を
計算してしまったほうが早いかもしれません。

補足

根本的な間違いをしていたらすみません。
mが増加する場合は、そうだと思いますが、

a-b/m^3

について、例えばa=1,b=2,m=1のような場合、
(a-b/m^3)が負になり、従ってf'(m)全体も負になる気がするのですが…

回答No.2

spring135

定石通り増減表を作るだけのことです。

補足

定石通り増減表を作る、という知識が不足しています。
(グラフの概形が分かっている関数の増減表しか書けません。どの値が極大・極小か求める方法を知らないからです。極値はすぐに分かりますが…)

回答No.1

alice_44

f(m)^2 = (a+b/m)^2 + (ma+b)^2 ならば、
f ' (m) = (ma+b)(a-b/m^3) / f(m) ですけどね。
ただし、f(m)>0 だから、
/ f(m) は f ' (m) の正負には影響しない訳です。
同様に、m>0, a>0, b>0 であれば
(ma+b) も f ' (m) の正負に影響しません。
f ' (m) の符号さえ判れば、f(m) の増減は判るのだから、
(a-b/m^3) の符号を調べれば足りることになります。
b>0 であれば (a-b/m^3) は m について単調増加
であることが解かりますか？
よって、0<m<(b/a)^(1/3) で f ' (m)<0、
(b/a)^(1/3)<m で f ' (m)>0 と判り、
m=(b/a)^(1/3) が m>0 における最小点と解かります。

補足

>>f ' (m) = (ma+b)(a-b/m^3) / f(m) ですけどね。
すみません、f(m)で全体を割り忘れていました。
定義よりf(m)>0は認識しています。

>>b>0 であれば (a-b/m^3) は m について単調増加
であることが解かりますか？
ここが理解できません。なぜ単調減少なのですか?

よろしくお願いします。