連続関数時の最大値、最小値。

質問

「F(x)＝[a,b]で連続のときM,mをF(x)の[a,b]上での最大値、最小値とするとF(ｘ)の値域は[m,M]である」
中間値の定理（？）が前提です。
これがどうも納得行きません。[a,b]間でa≦ｃ≦bでF(c)がF(a)もしくはF(b)を超えることはありませんかね？よろしくおねがいします。

回答No.3

kalgebra

もちろんF(c)が、F(a)やF(b)を超えることはあります。
ただし、この場合、F(a)やF(b)は、Ｍまたはｍとは限りませんよ。その点を勘違いされていませんか？

閉区間[a,b]においてF(x)の最大値がＭ、最小値がｍとしているわけですから、ｍ≦F(x)≦Ｍは絶対です。
問題は、連続であるから、任意のｃ∈[ｍ，Ｍ]に対して、ｃ＝F(x)となるx∈[a,b]が存在する。
すなわちF(x)の地域は[m,M]であるという点（本当にｍ以上Ｍ以下の区間は埋まっているの？）ですね。

お礼

ありがとうございました。
勘違いしてたみたいです＾＾；

回答No.2

mikisuke_0226

a≦ｃ≦bでF(c)がF(a)もしくはF(b)を超えることはありませんかね？

→あると思います。
単調増加のようにF(a)=m，F(b)=M　とは限りませんので…。

曖昧な記憶で申し訳ないのですが、この定理の言わんとしてるのはF(c)が[m,M]の間に存在するってことで、F(a)やF(b)の値とは無関係だったと思いますよ。

お礼

ありがとうございました。
勘違いしてたみたいです＾＾；

回答No.1

yumisamisiidesu

このように思われるのは、関数の値域の意味を完全に理解してないからだと思います

分りやすくイメージできるように説明すると
y=F(x)の値域というのは
それをグラフに書いたときy軸に射影したときの範囲になります
決して値域というのは定義域の初めの値～最後の値というわけではありません

お礼

ありがとうございました。
勘違いしてたみたいです＾＾；