二次関数の最大・最小

質問

二次関数f(x)=2x~2-8x+7のa≦x≦a+2における最大値をM(a)、
最小値をm(a)とするとき、M(a)とm(a)をaの式で表せ。

(答え)
M(a)=2a~2-8x+7(a<1)
1(a=1)
2a~2-1(a>1)

m(a)=2a~2-1(a<0)
-1(0≦a＜2）
　　2a~2-8a+7(a≧2)

今考えると全くやり方がわかりません。
分かるのは二次関数f(x)=2x~2-8x+7を標準形にすることだけです。

やり方もわからないのですが、特に分からないのが最小値と最大値の定義域が違うことです。

回答よろしくお願いします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

この手の問題がじぇんじぇん分かりましぇん、という方は、たいていグラフを書いてない、書こうとしない方なんですね。
ということでグラフを書きましょう。問題集の解答にもグラフぐらい載ってないんでしょうか？

f(x) = 2 x^2 - 8 x + 7 = 2(x - 2)^2 - 1

なので、定義域が全ての実数ならば、f(x)は x = 2 で最小。
ということで、そういうグラフを書きましょう。
そして、そのグラフの上で、幅が２の定義域（[a,a+2]が定義域なので幅は2ですよね）を左右に動かしてみて、そのとき、f(x)の最大値、最小値がどうなるのか、それを具体的に求めるにはどういう場合分けをすれば良いかを考える。

最大値 M(a) と最小値 m(a) は別々に考えた方が分かり易いかもしれない。ということで、まず、最大値。
とその前に、定義域 a ≦ x ≦ a + 2 の中心は x = a+1 ってことで良いですね。
グラフでみて、定義域の中心が放物線の軸 x = 2 よりも左側にあるとき、即ち a + 1 ＜ 2 のとき（ ⇒ a ＜ 1 のとき）、定義域 a ≦ x ≦ a + 2 において f(x) が最大になるのは x = a のときで、最大値 M(a) = f(a) となることをグラフで確認しましょう。
放物線の軸 x = 2 が定義域の中心にあるとき、即ち、a+1 = 2 (⇒ a = 1 ）のとき、定義域において f(x) が最大になるのは x = a = 1 および x = a+2 = 3 のときで、M(1) = f(1) = f(3) = 1 となることをグラフで確認しましょう。
放物線の軸 x = 2 が定義域の中心よりも右側にあるとき、即ち 2 ＜ a + 1 のとき（ ⇒ a ＞ 1 のとき）、定義域において f(x) が最大になるのは x = a+2 のときで、最大値 M(a) = f(a+2) となることをグラフで確認しましょう。

次に最小値 m(a)
放物線の軸が定義域 a ≦ x ≦ a + 2 に含まれておらず、その右側に外れているとき、即ち a + 2 ＜ 2 (⇒ a ＜ 0) のとき、f(x) は定義域において、x = a + 2 で最小となり、m(a) = f(a+2) となることをグラフで確認しましょう。
放物線の軸 x = 2 が定義域に含まれているとき、即ち、a ≦ 2 かつ 2 ≦ a+2 （⇒ 0 ≦ a ≦ 2) のとき、f(x)は放物線の軸 x=2 で最小となり、最小値 m(a) = f(2) となることをグラフで確認しましょう。
放物線の軸が定義域に含まれておらず、その左側に外れているとき、即ち 2 ＜ a のとき、f(a) は定義域において、x = a で最小となり、m(a) = f(a) となることをグラフで確認しましょう。

以上まとめて、
M(a) = f(a)　　（ a ＜ 1 ）
　　= 1　　　　（ a = 1 ）
　　= f(a+2)　（ a ＞ 1 ）

m(a) = f(a+2)　（ a ＜ 0 ）
　　= f(2)　　　（ 0 ≦ a ≦ 2 ）
　　= f(a)　　　（ a ＞ 2 ）

ということで、グラフを書いて、そのグラフを６回チラ見すると解けます。慣れたら、グラフが書かなくても頭の中で解けるようになりますが、それまでは手を動かしてグラフを書くのが良いと思います。

回答No.4

fuuraibou0

風来坊です。解答をちょっと間違えていました。御免！

ａ≦０ のとき，
Ｍ(ａ)＝１ａ^2－８ａ＋７，　ｍ(ａ)＝２(ａ＋２)^2－８(ａ＋２)＋７

０＜ａ＜１ のとき，
Ｍ(ａ)＝１ａ^2－８ａ＋７，　ｍ(ａ)＝－１

ａ＝１ のとき，
Ｍ(１)＝１，　ｍ(１)＝－１

１＜ａ＜２ のとき，
ｍ(ａ)＝－１，　Ｍ(ａ)＝２(ａ＋２)^2－８(ａ＋２)＋７

２≦ａ のとき，
ｍ(ａ)＝１ａ^2－８ａ＋７，　Ｍ(ａ)＝２(ａ＋２)^2－８(ａ＋２)＋７

回答No.3

fuuraibou0

奈良の風来坊です。先にヒントを書いて置きましたが、図を描いて
判りましたか。解答は、下記の通りです。

ａ≦０ のとき，
Ｍ(ａ)＝１ａ^2－８ａ＋７，　ｍ(ａ)＝２(ａ＋２)^2－８ａ＋７

０＜ａ＜１ のとき，
Ｍ(ａ)＝１ａ^2－８ａ＋７，　ｍ(ａ)＝－１

ａ＝１ のとき，
Ｍ(１)＝１，　ｍ(１)＝－１

１＜ａ＜２ のとき，
Ｍ(ａ)＝２(ａ＋２)^2－８ａ＋７，ｍ(ａ)＝－１

２≦ａ のとき，
Ｍ(ａ)＝２(ａ＋２)^2－８ａ＋７，　ｍ(ａ)＝１ａ^2－８ａ＋７

回答No.1

fuuraibou0

f(x)＝２ｘ^2－８ｘ＋７ のグラフは、それぞれ点
(０,７),(１,１),(２,－１),(３,１),(４,７) を通る放物線
で、図を描いたら直ぐ解ります。

ａ＝０ のとき，０≦ｘ≦２ において，
Ｍ(０)＝７,　m(０)＝－１

ａ＝１ のとき，１≦ｘ≦３ において，
Ｍ(１)＝１,　m(１)＝－１

ａ＝２ のとき，２≦ｘ≦４ において，
Ｍ(２)＝７,　m(２)＝－１