変数が分母分子両方にあるグラフの概形

質問

お世話になります。

変数が分母分子両方にあるグラフの概形について

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-1%29^2%2F%28x%2B1%29^3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2B1%29%28%28x-2%29%2Fx^3%29

こちらのサイトで色々試してみたところ、双曲線を作ることはわかりましたが、
(当たり前ですが)分母分子の変数の次数によってグラフの概形は色々で、法則性がよくわかっていません。

変数が分母分子両方にある関数のグラフについても、
偶関数、奇関数、上向き・下向きなどは最大次数だけで判断すればいいのでしょうか?

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

分数式で書かれた関数なら、約分を終えた後で
分母が因数分解できれば、だいたいの形は判る。
分母が 0 になる点の左右で、値が +∞ か -∞ か
だけ見れば、グラフっぽい感じにはなるからだ。
あとは、それこそ分子分母の最高次項を見れば、
変数→±∞ での様子も判る。
そのくらい解れば、大雑把なグラフは描ける。
微分して増減表を書いたほうが、正確なのは
言うまでもないけれども。

回答No.1

kabaokaba

>双曲線を作ることはわかりましたが、

まったくの間違えです．

y=f(x)の形のときは
双曲線は
f(x) = (ax+b)/(cx+d) (ただしad-bcが0ではない）
だけです．
それ以外のy=f(x)のグラフは双曲線ではありません．

>分母分子の変数の次数によってグラフの概形は色々で、法則性がよくわかっていません。
一般的な法則なんかはありません．
慣れると大まかにはわかるという程度です．

>変数が分母分子両方にある関数のグラフについても、
>偶関数、奇関数、上向き・下向きなどは最大次数だけで判断すればいいのでしょうか?

分母分子の変数があろうがなかろうが
最大次数だけでなんか判断できません．
むしろどうして最大次数だけで判断できると思うのかが不思議です．

基本的にグラフを人間が描く場合には
微分して増減表を書くくらいしか方法はありません．
ごく少数のまれなケース（一次，二次関数や楕円や円，双曲線の一部など）で
微分などせずにおおまかに書くことができるというだけです．

補足

奇関数の場合は極を持つ増加/減少関数、偶関数の場合は上下に凸な関数と大昔にならったもので…(y=f(x)の場合。勿論、中に振動する関数や定まらない関数が入ってる場合は除くと思いますが。)