二次関数の最大値と最小値についてです

質問

高校二年生なのですが、この問題が解けず、苦戦しています。力を貸してください

二次関数f(x)＝x２乗－2ax＋b（a，bは定数、a＞0）があり、f(x)の最小値は2である。

0≦x≦2におけるf(x)の最大値と最小値の差が3であるようなaの値をお願いします

回答No.3

noname#227255

平方完成させるまでもなく、軸はx=a
f(0)=b、f(2)=2^2-4a+b=4-4a+b、f(a)=a^2-2a*a+b=-a^2+b

・0＜a＜1とした場合
最大値=f(2)=4-4a+b
最小値=f(a)=-a^2+b
最大値-最小値=4-4a+b-(-a^2+b)=a^2-4a+4=3
a^2-4a+4=3
a^2-4a+1=0
(a-2)^2-3=0
(a-2)^2=3
a-2=-√3
a=2-√3(0＜a＜1)

・a=1とした場合
最大値=f(0)=f(2)=b
最小値=f(a)=-a^2+b
最大値-最小値=b-(-a^2+b)=a^2=3→a=√3(＞0)≠1となって不適

・1＜a≦2とした場合
最大値=f(0)=b
最小値=f(a)=-a^2+b
最大値-最小値=b-(-a^2+b)=a^2=3→a=√3(1＜a≦2)
なお、a=1とした場合に、a=√3(＞0)≠1で不適となりましたが、その際にはa=1という前提が誤りであったので（a=1にはなり得ないので）、ここに出てきたa=√3(1＜a≦2)は適です。

・2＜aとした場合
最大値=f(0)=b
最小値=f(2)=4-4a+b
最大値-最小値=b-(4-4a+b)=4a-4=3→a=7/4(≦2)となって不適

以上から、a=2-√3，√3

※最小値が2であることは、bを求めなければ不要です。

回答No.2

asuncion

ここが違うっぽい。
＞3)1 < aのとき
＞最小値を取るxは0のときで、最小値は-a^2 + b = 2 ... (1)
＞最大値をとるxはaのときで、最大値はb = 5 ... (2)

回答No.1

asuncion

f(x) = x^2 - 2ax + b = (x - a)^2 -a^2 + b と平方完成できるから、
最小値は-a^2 + bであり、問題文よりこれが2と等しい。
また、放物線の軸はx = aである。
軸のx座標であるaと、考えている区間0 ≦ x ≦ 2との位置関係を考える。
1)0 ≦ a < 1のとき
最小値を取るxはaのときで、最小値は-a^2 + b = 2 ... (1)
最大値をとるxは2のときで、最大値は4 - 4a + b = 5... (2)
なぜこうなるかというと、最大値 - 最小値 = 3だから
(2)よりb = 4a + 1を(1)に代入
-a^2 + 4a + 1 = 2, a^2 - 4a + 1 = 0, (a - 2)^2 - 4 + 1 = 0, (a - 2)^2 = 3
a = 2 ± √3, 0 ≦ a < 1より、a = 2 - √3

2)a = 1のとき
最小値を取るxはa = 1のときで、最小値は-a^2 + b = 2 ... (1)
最大値を取るxは0または2のときで、最大値はb = 5 ... (2)
(2)を(1)に代入して、-a^2 + 5 = 2, a^2 = 3, a = ±3
a = 1に反しているので不適

3)1 < aのとき
最小値を取るxはaのときで、最小値は-a^2 + b = 2 ... (1)
最大値をとるxは0のときで、最大値はb = 5 ... (2)
(2)を(1)に代入
-a^2 + 5 = 2, a^2 = 3, a = ±√3
1 < aよりa = √3

以上より、a = 2 - √3, √3
# 何か考え違いをしている気がしなくもない