最大値、最小値

質問

いまいちピンとこない問題が出てきたので質問させていただきましたｍ（＿）ｍ

２乗は＾２であらわせて頂きますｍ（＿）ｍ

ｆ(ｘ)＝２^２－４ａｘ＋ａ＋ａ^２の０≦ｘ≦３における最小値、最大値を求めてください

１、ａ＜０

２、０≦ａ＜２分の３

３、ａ＝２分の３

４、２分の３＜ａ＜３

５、ａ≧３

なにとぞよろしくお願いします。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

skyline-gtr-32さん、こんにちは。

＞ｆ(ｘ)＝２^２－４ａｘ＋ａ＋ａ^２の０≦ｘ≦３における最小値、最大値を求めてください

これ、問題にxが抜けているようですね？
正しくは、

f(x)=2x^2-4ax+a+a^2

でよろしいでしょうか。
では、まずこれを変形していきましょう。

f(x)=2(x^2-2a)+a+a^2
=2(x-a)^2-2a^2+a+a^2
=2(x-a)^2-a^2+a・・・(☆）となります。

これは、y=f(x)のグラフが、軸x=a,下に凸の放物線であることを示しています。

さて、ここで0≦x≦3における最大・最小を考えるので、
この0≦x≦3という定義域と、x=aという軸の関係を考えてみましょう。

1)a<0のとき、すなわち
軸が、0≦x≦3という定義域よりも、小さい場合、
これは、定義域では、単調増加になっていますから
最大値は、f(3)
最小値は、f(0)です。
計算すれば、f(0)=a^2+a←最小値
f(3)=a^2-11a+18←最大値

2)0≦a<3/2のとき
これは、0≦a≦3であって、軸がこの範囲の左半分にくるときです。
このときは、最小値はx=aのときで
最大値は、f(0)と、f(3/2)の大きいほうになります。

f(a)=2a^2-4a^2+a+a^2=a-a^2
f(0)=a^2+a
f(3/2)=a^2-5a+9/2
f(0)≧f(3/2)となるのは、a^2+a≧a^2-5a+9/2
6a≧9/2
a≧3/4
a≧3/4のとき、最大値はf(0)
a<3/4のとき、最大値はf(3/2)

これをまとめて、0≦a<3/4のとき、最大値はf(3/2)
3/4≦a<3/2のとき、最大値はf(0)

3)a=3/2のとき、
これは、ちょうど定義域の半分のところに、軸がくるので
最小値は軸のx=aのときで、f(a)
最大値は、f(0)=f(3)=a+a^2

4)3/2<a<3のとき、
このとき、軸は定義域の右半分に入っているので、
最小値は軸のx=aのときで、f(a)
最大値は、f(3/2)とf(3)の大きいほうですね。

f(3/2)=a^2-5a+9/2
f(3)=a^2-11a+18
ですから、f(3/2)≧f(3)となるのは、
a^2-5a+9/2≧a^2-11a+18
6a≧27/2
a≧9/4

となるので、3/2<a<9/4のとき、最大値は、f(3)
9/4≦a<3のとき、最大値はf(3/2)

5)a≧3のとき、
このときは、グラフは定義域の範囲では、単調に減少しているので、
最小値はf(3)
最大値はf(0)

ということになるんですね。
軸と、定義域との位置関係によって、場合わけしてあります。
頑張ってくださいね！！