最大値、最小値

質問

f(x)=X^2-2aX+2aの0<=X<=1における最大値M、最小値mとするとき、2M-mの最小値は？
という問題ですが、場合分けがよくわかりません。場合分けがどのように分けたらいいのか教えてください。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

type2000さん、こんにちは。
＞f(x)=X^2-2aX+2aの0<=X<=1における最大値M、最小値mとするとき、2M-mの最小値は？

f(x)=x^2-2ax+2aとします。これを変形すると、
　　=(x-a)^2+2a-a^2
となるので、これは、頂点(a,2a-a^2)で下に凸の放物線であることが分かります。
ｘの定義域に範囲がなければ、このグラフは、頂点で最小値になるのは、いいですね。
だけど、0≦x≦1という範囲がついているので、
頂点のｘ座標x=aが、この定義域に入っているか、いないか、また入っていたら
どのあたりにあるかによって、最大値・最小値をとりうるｘの値が変わってきます。

1)a<0のときy=f(x)は、0≦x≦1では、単調増加になるので
　このときの最大値はf(1)=1-2a+2a=1
　最小値はf(0)=2a

2)0≦a<1/2のとき
　最大値は、f(1)=1
　最小値は、頂点であるからf(a)=a^2-2a^2+2a=2a-a^2

3)1/2≦a<1のとき
　最大値はf(0)=2a
　最小値は、頂点であるからf(a)=2a^a^2

4)1<aのとき0≦x≦１では、このグラフは単調減少であるから
　最大値はf(0)=2a
　最小値はf(1)=1

その、それぞれについて、２Ｍ－ｍを求めていけばいいですね。
1)a<0のとき
　２Ｍ－ｍ=2-2a>2

2)0≦a＜1/2のとき
　２Ｍ－ｍ=2-(2a^a^2)
　　　　　=(a-1)^2+1
　これは、a=1/2に近づくとき最小となり、2M-m=5/4に近づくので
　２Ｍ－ｍ＞5/4

3)1/2≦a<1のとき
　２Ｍ－ｍ=4a-2a+a^2
　　　　　=(a+1)^2-1
　これは、a=1/2のとき最小となり、2M-m=5/4

4)1<aのとき
　２Ｍ－ｍ=4a-1>4-1=3

1)から4)より、２Ｍ－ｍの最小値は、5/4(このときa=1/2)

お礼

ありがとうございました。場合分けから回答まで本当にありがとうございました。よくわかりました。

回答No.1

masae1979

まずｆ（ｘ）の式を平方完成（頂点を求める式）します。

軸の方程式がｘ＝ａになりますね。

二次関数のグラフは下に凸、軸に関して左右対称なので、
軸と範囲によって最大値・最小値が変わります。

まず、座標軸（ｘ軸・ｙ軸）をかいてみましょう。

定義域の０＜＝ｘ＜＝１を座標平面にかきこみます。

軸のｘ＝ａが、もし範囲より左にあれば
グラフが一番低くなるのはｘ＝０、高くなるのがｘ＝１のときです。

軸のｘ＝ａが、もし範囲の中にあれば最小値は頂点だけど、
範囲のちょうど真中にｘ＝ａがあれば
最大値はｘ＝０，１のときになりますが、（左右対称）
少しでも左にずれれば最大値はｘ＝１、
少しでも右にずれれば最小値はｘ＝０のときです。

軸のｘ＝ａが、もし範囲より右にあれば、
最小値はｘ＝１、最大値はｘ＝０のときです。

範囲は０から１、とハッキリ決まっているので、
まず座標平面でそこを印しておいて、
グラフを左右に動かしていくと、
範囲内での最大値・最小値がわかります。

よって、場合わけは、
ａ＜０
０＜＝ａ＜１／２
ａ＝１／２
１／２＜ａ＜＝１
ａ＞１
の５通りです。
”＝”等号はどちらにつけてもかまいません。
他にもたぶん、教えてくださる方がいらっしゃると
思いますが、よくわからなければ補足要求お願いします。

お礼

ありがとうございました。助かりました。場合分けはxの範囲の中にx軸が入り、真中を考えることがわかりました。