最大最小

質問

f(X)＝XｌｏｇX＋aXについて、f(１)＝f(e)であるように定数aの値を定め
その時f(X)の区間[１,e]における最大値と最小値を求めよ。。
という問題で、
aの値は出しました。。
a＝１－e分のeです
が、最大最小が分かりません。。
グラフの大体の形でも分かればなぁ・・・と思ったんですけれども、
それすら分かりません。。

最大は,Xが１とeのとき、最小はe＾e－１分の１のときです。。
最小のXの値を見ただけでも、分からないです・・・
今日で、２回目ですがお願いします。。

回答No.6

springside · ベストアンサー

f(1)=f(e)なので、a=e/(1-e)となる。

このとき、f(x)=xlogx+e/(1-e)*xなので、
f'(x)=logx+x*1/x+e/(1-e)=logx+1/(1-e)となる。

f'(x)=0を解くと、x=e^{1/(e-1)}となる。
ここで、0<1/(e-1)<1なので、1<e^{1/(e-1)}<eであることに注意しておく。

logxが単調増加関数であることに注意しつつ、[1,e]の区間で増減表を書くと、

1<x<e^{1/(e-1)}の時はf'(x)<0なのでf(x)は減少
x=e^{1/(e-1)}の時はf'(x)=0
e^{1/(e-1)}<xの時はf'(x)>0なのでf(x)は増加

となるので、

最小になるのは、x=e^{1/(e-1)}のときで、最小値はf(e^{1/(e-1)})=-e^{1/(e-1)}
最大になるのは、x=1又はx=eのときであるが、f(1)=f(e)なので、最大値はf(1)=f(e)=e/(1-e)

お礼

ありがとうございました！！
ホント助かりました(>_<)

回答No.5

mmky

回答はありますので、グラフ用の参考程度まで

f(X)＝X*LogX＋aX, a={e/1-e}
x=e＾(-1/1-e)=1.789572397 の時、最小(-1.789572397)
グラフ用数値表
x ---f(x)
1.0 -1.581976707
1.1 -1.63533318
1.2 -1.67958618
1.3 -1.715496175
1.4 -1.743706258
1.5 -1.764767398
1.6 -1.779156924
1.7 -1.787292375
1.8 -1.789542076
1.9 -1.786233359
2.0 -1.777659053
2.1 -1.76408266
2.2 -1.745742562
2.3 -1.722855443
2.4 -1.695619127
2.5 -1.664214937
2.6 -1.628809681
2.7 -1.589557321
2.8 -1.546600411

参考まで

回答No.4

watapen

はぁ
またまちがえてしまった

f'(x)= logx + a+1ですね

だから
最小値は
-e^(-a-1)みたいだなぁ

回答No.3

watapen

f(1)=f(e)
とf'(x)が単調増加であることから
f(x)は下に凸な関数だから
最大はx=1,eのときですね。
あとはf'(x)=0となる点が最小のようですね。

f'(x) = logx + a = 0
x = e^-a
= exp(e/(e-1))

だから
最大値f(1) = f(e) = a
最小値f(exp(e/e-1))=0

なんですかね？
どうなんでしょ？

回答No.2

watapen

失礼しました

f'(x)が単調増加なのですね。
となると先ほどの回答ではだめですね。

回答No.1

watapen

a = e/(1-e)

f(x) = xlogx + ax
= x(logx+a)
f'(x)= log x + a
logxは単調増加関数だから
最小値はx=1のときで最大値はx=eのときではないのですか？