条件 少なくとも一つはa について

質問

お世話になっております。題名の通りの条件の捉え方がこんがらがってしまったので、アドバイス下さい。

例えば、条件「x、y、zの少なくとも一つはa」というのは、

全てa…(1)
内二つがa…(2)
内一つがa…(3)

のいずれであってもこれに含まれるのでしょうか。例題を挙げますと

a、bが整数のとき
「ab=奇数⇒a、bの少なくとも一つは奇数」

ab=3 のとき、これを満たす整数a、bはa=1 b=3(或いはこの逆)になると思いますが、この場合、aもbも奇数になります。

また、「少なくとも一つ」の否定は「且つ」ですから、ここに微妙なニュアンスの違いがあるのかな、と思います。　「且つ」は、「でなければならない」であって、「少なくとも一つ」は「いずれかが当該であれば良い」という事になるのでしょうか。

妙な質問で申し訳ありませんが、少し付き合って下さると有り難いです。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

「少なくとも一つはａである」というのは、一つ以上がａであるということですから、おっしゃる通り
全てa…(1)
内二つがa…(2)
内一つがa…(3)
の三つの場合を含みます。また、「少なくとも一つはａである」の否定は「どれ一つとしてａではない」であることを考えても、「少なくとも一つはａである」が上記の三つの場合を含むことが判ると思います。

二つ目の例では結果としてａ，ｂともに奇数になりますが、上記の内容から考えれば「少なくとも一つは奇数」であることを満たしています。

＞また、「少なくとも一つ」の否定は「且つ」ですから、ここに微妙なニュアンスの違いがあるのかな、＞と思います。　「且つ」は、「でなければならない」であって

　⇒ここの文章がよく判りません。言葉を省略せずに「少なくとも一つが△△である」の否定は「○○且つ
　　□□」であるという具合に書かないと伝わらないと思います。このあたりは補足を頂きたく。

補足

No.2様にも御指摘があったので、補足します。ただ、回答者様方の御指摘で、言葉足らずであったとはいえ、自分の中では消化できた感はありますが。

御指摘の通り、xyzの少なくとも一つはaの否定は、x≠a且つy≠a且つz≠aになると思いますが、「少なくとも」の場合は当方の質問にあるように、(1)(2)(3)のいずれであっても良いが、「少なくともの否定」の場合は、全て≠a「でなければならない」という事でしょうか？、という事を尋ねたかったという事です。しかし、ご回答者様が汲んで下さったおかげで、消化出来ました。

回答No.3

Tofu-Yo

合っています。
挙げられた例「abが奇数⇒a、bの少なくとも一方が奇数」も真です。ただabが奇数の時はaもbも奇数で逆も成り立ちますから、あまり上記の命題を証明せよ的な問題はでず、基本的にはa、bとも奇数であることを示せまで言ってくることが多いと思います。

回答No.2

alice_44

1.
「x,y,zの少なくとも一つはa」は、
「(1)または(2)または(3)」と同値です。

2.
「整数a,bについてab=奇数」⇔「a,bの両方が奇数」
⇒「a,bの少なくとも一つは奇数」です。
逆は、成り立ちませんが。

3.
三点めは、何を質問したいのかサッパリ判りません。

お礼

言葉足らずで申し訳ありませんでした。No.1様の補足に挙げておきました。

言葉足らずでしたが、一番確認したかった事を全て簡潔にご説明して下さったので、ほぼ消化出来ました。ありがとうございました。