実数解が存在するための条件

質問

x,y,z,a,bは実数とする。
x^2+y^2=a,y^2+z^2=b,y(x+z)=1
を満たすx,y,zが存在するためのa,bの条件を求めよ。

既出の行列の問題でどうしても分からないので、再度の形に
なりますが、よろしくお願いします。

次のように考えましたが、間違っているのは、分かるのですが、
どう改善すればよいのかわかりません。

x^2+y^2=a,y^2+z^2=b,から、(x-z)(x+z)=a-b .......(1)
y(x+z)=1より、x+z=1/y　..........(2)
(2)を(1)に代入して、x-z=y(a-b) .......(3)
(2)^2-(3)^2より、xz={1/y^2-y^2(a-b)^2}/4
x,zを解とする方程式は、
Ａ^2-1/yA+1/y^2-y^2(a-b)^2}/4=0
これが、実数解をもつから、
判別式＝y^2(a-b)^2>=0となり、a,bが何であろうと必ずx,zは実数解をもつ。

また、x^2+y^2=aだから、a>0,同様にb>0
よって、a>0,b>0
（となるが、行列式の値から、少なくともab>1となること（回答で指摘頂いた）はわかるので、a>0,b>0は
間違っているのは分かる。）

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

細かな点は省略する。それは自分で補って。

簡単のために、m＾2＝a、n＾2＝bとすると、a≧0、b≧0からm≧0、n≧0
x＝m*cosα、y＝m*sinα、y＝n*cosβ、z＝n*sinβ　‥‥(1)　とすると、0≦α＜2π、0≦β＜2π。
1＝xy+yz＝m*cosα*n*cosβ+m*sinα*n*sinβ＝mn*cos(α-β)だから、｜cos(α-β)｜≦1から　｜mn｜≧1　→　ab≧1　は簡単に出る。但し、これは必要条件。

(1)から　y＝m*sinα＝n*cosβ　だから　｜(cosβ)/(sinα)｜＝｜√a/√b｜≦1　から　a≦b

以上から、ab≧1、0≦a≦b。

お礼

回答ありがとうございます
三角関数を持ち出してみようという発想は
なかなか思い浮かばないと思いました。

｜(cosβ)/(sinα)｜＝｜√a/√b｜≦1　から　a≦b
のところは、｜(cosβ)/(sinα)｜を１以下と判断したから
だと思うのですが、・・・よくわかりませんでした。

回答No.7

hrsmmhr

3次元の座標上でx^2+y^2=aは断面が円のチューブになっていて
その交差はO型のサークルが二つ円柱面に張り付いている形状です
一方x^2-z^2=a^bはx-z平面での双曲線がy方向に無限に伸びてる形状になります
おそらくO状のサークルはy軸方向から見ると双曲線の切り口になっていて
元の式は双曲線の一部でしかありません

ですので必要条件は出てくるのですが、あまり意味がない可能性が高いのです

回答No.6

mister_moonlight

＞｜(cosβ)/(sinα)｜＝｜√a/√b｜≦1　から　a≦bのところは、｜(cosβ)/(sinα)｜を１以下と判断したから

あっ、ごめん。勘違いしてる。横着せずに、実際に図示して考えれば良かったのに。。。。。。ｗ

cosβ＝y、sinα＝x とすると、｜x｜≦1、｜y｜≦1で、y/x＝kとすると、y＝kxだから、原点を通る直線の傾き：kの値の範囲を定めると、kは任意の実数になる。

従って、ab≧1、a≧0、b≧0　だね。

回答No.5

ringohatimitu

再びNo1です。補足についてですが、x,zについての存在→yについての存在は問題ないと思います。
ところが「x^2+y^2=a,y^2+z^2=b」がかなり強い条件で、最終的にはここに求めたものを代入して確かめないといけません。ほとんどの場合式変形で情報が失われてます（これは前の回答でも注意しました）。
この場合、陰に|x|,|y|≦aなどと制限がかかっているわけです（|z|≦bも同様）。
これを加味すれば求めるものが得られるかと思います。
一般に十分条件を求めるときは、情報を失わない為にもなるべく式変形を行わないで済む手法が望ましいです。この問題は行列なのでその固有値が非負である条件を調べることですぐに（式変形をすることなく）a+b≧0かつab≧1が得られます（実はa,b≧0の下で行列式による条件と同値）。そしてa,bが同符号であることからa+b≧0はa,b≧0と同値です。一方、質問者さんのように４本式を書き下した段階で、a,b≧0が得られてますね。従って、行列の平方根が存在する為の必要十分条件であることも従うわけです。
常にスムーズに行くとは限りませんが出来るだけ問題をすり替えて直ちに必要条件が得られる形にして（粗情報をなるべく失わない為にも重要）、それを逆に確かめるというのが基本です。

お礼

何度も回答ありがとうございます
「x^2+y^2=a,y^2+z^2=b」がかなり強い条件で・・・
これらの条件をどの段階でどう使ったらよいのか，混乱してしまいます。

回答No.4

hrsmmhr

x＾2+y＾2=a,y＾2+z＾2=b→x＾2-z＾2=a-bですが
x＾2+y＾2=a,y＾2+z＾2=b←x＾2-z＾2=a-bではありませんから
判別式からは出てこないです
その方法にこだわるなら
x=+-√(a-y＾2)とかでやるのかも

お礼

回答ありがとうございます
必要条件だけはx＾2-z＾2=a-bから出てくるとおもいますが、
それが、a>0,b>0と考えて良いのでしょうか。

回答No.3

ringohatimitu

No1です。最初に自分で出した条件を改めてわざわざ間違って書いてしまって申し訳ないです。
a,b＞0かつab≧1に修正します。

ちなみにNo2さんの回答でa≦bとなってますがおそらく必要ないのでは？というのもa,bは自由に入れ替えられるので。

回答No.1

ringohatimitu

行列のときに回答したものです。答えはおそらく「a,b＞0かつab＞1」でしょう。というのもこの場合与えられた実対称行列の固有値が非負になり、（固有展開すれば）すぐに平方根が見つかるからです。

x,zが解を持つことは良さそうですがその後yについても実数解を持つ条件は調べていますか？
そこでab＞1が出てくるのではと推測しますが。

お礼

回答ありがとうございます
x,zが実数だったら、y(x+z)=1を満たすyは安易に存在するから、
yについては、調べなくてもよいと思ってしまいました。
また、それはそれとして、yが実数になるためのa,bの条件は、
何になるのか、教えてもらえればと思います