数Aについて

質問

数Aについて

問１
正の整数x,yがx^2=2y^2+1を満たすとき、次のことを証明せよ

ｘは奇数である

ｙは偶数である

問２
整数ｍについて、m^2が7の倍数ならばmは7の倍数である
このことを用いて、√7は無理数であることを証明せよ。

mとnが公約数7を持つこと（矛盾）を導くと書いてあるのですが、どうやってやるのかわかりません・・・。

問3
4人で1回だけじゃんけんをする

あいこにならずに勝負が決まる確率を求めよ

問4
△ABCの3つの中線をAL,BM,CNとするとき、不等式AL+BM+CN>3/4(AB+BC+CA)が成り立つことを証明せよ

問5
f(x)=x^2+ax+a-2,g(x)=x^2-(a-2)x+3について次の条件を満たすように定数aの値の範囲を定めよ

どんなｘの値に対してもf(x)<g(x)が成り立つ

自分でよく考えてみたのですが、いまいちわかりません。解説宜しくお願いしますｍ（＿＿）ｍ

回答No.2

noname#112109

問3　4人でじゃんけんをしたときの場合の数は3^4＝81(通り)
グー・チョキ・パーのうち2種類だけ出ればあいこにならない。
その組合せは3P2＝6(通り)，さらに2種類の分け方に
1人・3人，2人・2人があるので，求める確率は
3P2×(4＋3)/81＝42/81＝14/27……(答)
参考　4人を区別のない2つの部屋に，どちらの部屋も1人は収容する場合の数は
1人・3人でA・BCD,B・ACD,C・ABD,D・ABCの4通り
2人・2人でAB・CD,AC・BD,AD・BCの3通り

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

問１

x^2 = 2y^2 + 1

だから、x^2 は奇数。
自乗して奇数になるから、x は奇数。

この式を変形すると、

x^2 - 1 = 2y^2

左辺を因数分解して

(x + 1)(x - 1) = 2y^2

x は奇数だから、左辺は４の倍数。（なぜ？）
故に、y^2 は２の倍数（偶数）
自乗して偶数になるから、y は偶数。

問２

√7 = m / n と書かれたと仮定する（仮定から、m と n は互いに素であることに注意）

両辺を自乗して整理すると、

m^2 = 7n^2

すなわち、m^2 は、7の倍数であり、m も同様に7の倍数である。
さらに、m が 7の倍数であることから、m^2 は、7^2 = 49 を因数とする。（なぜ？）
故に、n^2 は 7の倍数であり、n も同様に7の倍数である。
つまり、n と m はいずれも因数7を持つことになり、互いに素であるという仮定に矛盾する。
従って、√7 は無理数である。

問3
確率嫌い。

問4

３つの中線は一点で交わる（なぜ？）その点をGとする。

△AGBに着目すると、辺の長さの関係から AG + GB > AB （なぜ？）
同様に、
BG + GA > BA
CG + GA > CA

辺々足すと

2(AG + BG + CG) > AB + BC + CA

さらに、AG = 2/3 * AM （なぜ？）
同様に、BG = 2/3 * BL
CG = 2/4 * CN

これを、上式に代入して、

(4/3)*(AM + BL + CN) > AB + BC + CA
つまり、
(AM + BL + CN) > (3/4)*(AB + BC + CA)

問5
f(x)=x^2+ax+a-2,g(x)=x^2-(a-2)x+3について次の条件を満たすように定数aの値の範囲を定めよ
どんなｘの値に対してもf(x)<g(x)が成り立つ

f(x) - g(x) = ax + a - 2 + ax + 2x - 3
= 2ax + a - 2x - 5
= (2x + 1)a - (2x + 1) - 4
= (2x + 1)(a - 1) - 4 < 0
∴ (2x + 1)(a - 1) < 4
これがすべての x について成り立つので、 a = 1