次の条件を満たす組（ｘ、ｙ、ｚ）を考える。

質問

次の条件を満たす組（ｘ、ｙ、ｚ）を考える。
条件（A）：ｘ、ｙ、ｚは正の整数で、ｘ^2+y^2+Z^2=xyzおよびx≦y≦zを満たす。
以下の問いに答えよ。
（１）条件（A）を満たす組（ｘ、ｙ、ｚ）で、ｙ≦3となるものをすべて求めよ。
（２）組（a,b,c)が条件（A)を満たすとする。このとき、組（b,c,z)が条件（A）を満たすようなｚが存在することを示せ。
（３）条件（A）を満たす組（ｘ、ｙ、ｚ）は、無数に存在することを示せ。

解説とその理由をお願いします。

回答No.3

k14i12d · ベストアンサー

#2
失礼。訂正します。
(3)は
(1)の組(3,3,6)に(2)を適用するのを繰り返せば、に直して下さい。

回答No.2

k14i12d

(1)y=1、y=2、y=3の場合を実際に考えてみる。
y=1のとき2+z^2=zより不適
y=2のときx^2+z^2-2xz=-4
⇔(x-z)^2=-4より不適
y=3のときx^2+z^2=3(xz-3)
右辺が3の倍数だから、左辺の二つの項は3の倍数でなければならない。
x≦yより、x=3を代入。z^2=9(z-2)これを満たすzはz=3、6
よって題意を満たす組は(x,y,z)=(3,3,3),(3,3,6)
(2)a,b,c,はa^2+b^2+c^2=abc ←[1]
b^2+c^2+z^2=bcz ←[2]として、
[1]かつ[2]が自然数の解を持てば十分。(ただし、a≦b≦c≦z) ←[3]
[1],[2]より、
z^2-a^2=bc(z-a) ところで、z=aのとき、(1)と[1]より成り立つのは自明なので、z≠aとする。
すると、z+a=bc⇔z=bc-a
[3]より、bc-aは自然数である。
よって、bc-a≧c ←[4]となれば、十分。
⇔bc≧c+a 両辺正より2乗を比べても一般性は失わない。
(bc)^2-(c+a)^2
=c^2b^2-(c+a)^2
判別式は4c^2(c+a)^2
となり、正であるので[4]も示された。以上より、題意は満たされた。
(3)(2)のうち、a≠zのときを繰り返し適用すれば、自然数は無数に存在するので、解の組も無数に存在する。

回答No.1

noname#199771

(1)
ｙ≦3となる(x,y)の組み合わせを全部調べてそれぞれ
についてzが存在しうるかどうかチェックすればいいです。
調べるだけですから自分でやりましょう。
実際二組しかありません。

(2)
前提はa^2+b^2+c^2=abc, a≦b≦cです。
(b,c,z)が(A)を満たすようなzが存在するなら
a^2+b^2+c^2=abzおよびa≦b≦z
です。そういうzがどんな性質か調べましょう。

a^2+b^2+c^2=abzの両辺をa^2+b^2+c^2=abcの両辺で
それぞれ引いてみてください。
因数分解するとzが”どういうもの”かわかります。

今度は逆にたどって、最初から
z=”こういうもの”
として(b,c,z)が(A)を満たすかどうかチェックします。

(3)
x=zならどうなるか調べます。
すると(1)に帰着することがわかり、それ以外ではx≠z
であることがわかります。
ここまでくれば(2)より結論は明らか（きちんというには
数学的帰納法）です。