数学の整数の問題で分からないことがあります。

質問

最大公約数が1である整数a,b,cはa^2+b^2=c^2を満たしている。
このとき、a,bのうち、一方が偶数であり、一方が奇数であることを
示せ。

まず2で割り切れるか割り切れないかということで、
a=2s+x,b=2t+y,c=2u+z(s,t,uは整数　x,y,z:0か1)
とおいてa^2+b^2=c^2に代入してその結果が
2(2s^2+2sx+2t^2+2ty)+(x^2+y^2)=2(2u^2+2uz)+z^2・・・(1)となり、
この式から[x^2+y^2を2で割った余り]=[z^2を2で割った余り]となる。

解答ではここから更に(1)を
4(s^2+sx+t^2+ty)+(x^2+y^2)=4(u^2+uz)+z^2とし、
[x^2+y^2を4で割った余り]=[z^2を4で割った余り]として
z=0の場合とz=1のときの場合分けで示しているのですが、

[x^2+y^2を2で割った余り]=[z^2を2で割った余り]の段階で
z=0の場合とz=1のときの場合分けを使って考えてはいけないのは
何の不都合があるのでしょうか？

回答No.3

wasabifumi · ベストアンサー

「一方が偶数であり、一方が奇数であることに反する（矛盾する）。」
というと

「証明すべき内容でないからいけない」といっていることになり
証明しているとはいえないと思います。

「これは、a,bのうち一方が偶数であり他方が奇数であることに反する。」
これだと、まだ一方が偶数であり他方が奇数でない数が存在する可能性を排除できていません。

「a,b,cは偶数となりa,bの一方が偶数で他方が奇数であることに矛盾」
は
「a,b,cは偶数となり、公約数２を持つことになるので矛盾する」とすべきです。

私の意見：
数学は回答のとおりの手段でなくても正しい方法で解答にたどり着けますので、同じとき方にこだわることはありません。

場合わけをどこですべきかよりもどのように最後まで持っていくかが大切なので、他の人も答えようがなかったのだと思います。

お礼

一方が偶数であり他方が奇数でない数が存在する可能性を勝手に排除
していたことが分かりました。おかげ様でこの解答のやっていることが
理解できました。ありがとうございました。

回答No.2

proto

z=0の場合とz=1のときの場合分けを使って、その後何をどうしているのかを書いてもらわなければ、その後に不都合があるかどうか答えようがないのですが。

補足

(a)z=0のときx^2+y^2が4で割り切れる
x=0,y=0,x^2+y^2=0
x=y=0
a,b,cは偶数となりa,bの一方が偶数で他方が奇数であることに矛盾

(b)z=1のときx^2+y^2を4で割ると余りは1
x=0,y=1
x=1,y=0

以上(a)(b)よりa,bのうち一方は偶数、他方は奇数

これを[x^2+y^2を2で割った余り]=[z^2を2で割った余り]の段階で
行えない訳が分かりません。

回答No.1

koko_u_u

>[x^2+y^2を2で割った余り]=[z^2を2で割った余り]の段階で
>z=0の場合とz=1のときの場合分けを使って考えてはいけないのは
>何の不都合があるのでしょうか？

じゃあ、それでやってみて補足にどうぞ。

補足

z=0のときx^2+y^2が2で割り切れる
()x=0,y=0,x^2+y^2=0
x=1,y=1,x^2+y^2=2
これは、a,bのうち一方が偶数であり他方が奇数であることに反する。

()z=1のときx^2+y^2を2で割ると余りは1
x=0,y=1,x^2+y^2=1
x=1,y=0,x^2+y^2=1
以上()()よりa,bのうち一方が偶数であり他方が奇数である

これではいけないのでしょうか？