定積分の問題(数学II)

質問

次のような問題の解の検算方法を知りたいです。

問 等式f(x)=3x^2+∫(1)(-1)f(t)dt を満たす関数f(x)を求めろ。
※積分記号の適切な入力方法が分からなく、混乱させてしまうかも知れません。ここでは、(1)が上端、(-1)が下端を意味します。表記も御指摘下さると有り難いです。

一応解いてみると、

∫(1)(-1)f(t)dtは結果定数となるから、これを定数bとおく。
従って与式 f(x)=3x^2+b。

b=f(t)=∫(1)(-1)(3t^2+b)dt=［t^3+bt］(1)(-1)=2+2b。
b=2+2bより、b=-2。
求める関数は、f(x)=3x^2-2。
この解の正誤も勿論尋ねたいのですが、何よりこの類いの問題の検算が分らないので、教えて下さると嬉しいです。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
今日も頑張ってますね。＾＾

解答の指針は合っていますよ。
積分の項は結局定数項になっていることがわかれば、しめたもんです。

＞b=f(t)=∫(1)(-1)(3t^2+b)dt=［t^3+bt］(1)(-1)=2+2b。
＞b=2+2bより、b=-2
ここは少し表現がおかしいところがありますね。
1行目の = f(t)というのは不要です。

検算ですが、そのまま f(x)＝ 3x^2-2を代入してみてください。
当然、f(t)にもその関数を代入します。
そうなるような条件を考えて、上の定数項の計算をしているので合うのは当然ですね。

お礼

naniwacchi様 いつも分かりやすい御指摘ありがとうございます。活用致します。

回答No.3

yyssaa

f(x)=3x^2-2をf(x)=3x^2+∫(1)(-1)f(t)dtに代入して
成り立っているので、それが検算でしょう。
記号は∫{-1→1}f(t)dtとか∫［-1→1］f(t)dt、
∫(-1→1)f(t)dt でいいと思います。

お礼

ありがとうございます！参考になりました

回答No.2

noname#157574

正解です。
【検算】∫<-1→1>(3x²-2)dx=-2 となるから f(x)=3x²-2

お礼

ご回答感謝します。その記号を覚えておきます