積分

質問

明日の授業から積分に入ります。
予習問題として積分の最初のほうから最後の方まで先生が順番に当てて私はこの問題になったんですが、
かれこれもう2時間ほど問題と例題を比べて見てるんですが、よく分かりません。

●F(x)＝∫上端1下端0｜t-2x｜dt　とおくときの最小値

例題はF(a)＝上端1下端0｜x-a｜dx という問題のやり方が載ってるんですが、同じように
i) x<0のとき
ii) 0≦x<1のとき
iii) 1≦xのとき
に分けて求めればいいんでしょうか。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1,#2,#3です。

> F(x)=∫0→1(t-2x)dt
>　　=[1/2t^2-2tx]0→1
>　　=1/2-2x
○

> F(x)=∫0→2x{－(t-2x)}dt+∫2x→1/2 (t-2x)dt
A#3の後半の積分上限は1でした。
> F(x)=∫0→2x{－(t-2x)}dt+∫2x→1 (t-2x)dt
と訂正。
>　　=-[1/2t^2-2tx]0→2x+[1/2t^2-2tx]2x→1
○

> =4x^2-x+1/8
×
=4x^2-2x+1/2

> F(x)=∫0→1 {－(t-2x)}dt
>　　=[1/2t^2-2tx]0→1
> =-1/2+2a
×
なぜaが突然入るのですか？
aはxの間違い。

後はA#1で回答したように、x実数全体で変化させてF(x)の最小値を求めるだけ。x=1/4で最小ですね。

回答No.3

info22

#1,#2です。
世話が焼けますね。積分の下限と上限が全部逆です。
よく考えて補充質問して下さい。

> i)F(x)=∫1→0(t-2x)dt
間違い。
F(x)=∫0→1(t-2x)dt

> ii)F(x)=∫2x→0{－(t-2x)}dt+∫1/2→2x(t-2x)dt
間違い。
F(x)=∫0→2x{－(t-2x)}dt+∫2x→1/2 (t-2x)dt

> iii)F(x)=∫1→0{－(t-2x)}dt
間違い。
F(x)=∫0→1 {－(t-2x)}dt

補足

F(x)=∫0→1(t-2x)dt
　　=[1/2t^2-2tx]0→1
　　=1/2-2x
F(x)=∫0→2x{－(t-2x)}dt+∫2x→1/2 (t-2x)dt
　　=-[1/2t^2-2tx]0→2x+[1/2t^2-2tx]2x→1
=4x^2-x+1/8
F(x)=∫0→1 {－(t-2x)}dt
　　=[1/2t^2-2tx]0→1
=-1/2+2a
で合っているでしょうか…

回答No.2

info22

A#1の補足質問の回答
なせアドバイスした場合分けを無視するのですか？
補足質問の場合分けは全部間違い、
アドバイスの場合分けと矛盾してむちゃくちゃです。
グラフを書いて正しく理解するよう努めて下さい。
xとtの関係を混同しない事。
積分するまではxは定数と考えて下さい。
積分し終わったら、改めてxをF(x)の変数と考えます。

> i)0≦t≦1/2で｜t-2x｜= t-2x
間違い
0≦t≦1なので｜t-2x｜= t-2x

> ii)0≦t≦xで｜t-2x｜= －(t-2x)
間違い
0≦t≦2xで｜t-2x｜= －(t-2x)

> x≦t≦1/2で｜t-2x｜= t-2x
間違い
2x≦t≦1/2で｜t-2x｜= t-2x

>　iii)0≦x≦1で｜t-2x｜= －(t-2x)
間違い
0≦t≦1なので｜t-2x｜= －(t-2x)

補足

すいません…。
ちょっと頭が混乱してきました。

i)F(x)=∫1→0(t-2x)dt
ii)F(x)=∫2x→0{－(t-2x)}dt+∫1/2→2x(t-2x)dt
iii)F(x)=∫1→0{－(t-2x)}dt

こういうことでしょうか。
やっぱり違いますかね…

回答No.1

info22

丸投げに丸解答は禁止されていますので、質問のポイントだけのヒント

例題のxをt、aを2xと置き換えるて考えればいいですね。
> i) x<0のとき
> ii) 0≦x<1のとき
> iii) 1≦xのとき
このxは2xに該当しますので
i) x<0のとき
ii) 0≦x<1/2のとき
iii) 1/2≦xのとき
と分けて求めて下さい。
x=1/4でMin(F(x))=F(1/4)=1/4
となるかと思います。

補足

ということは
i)0≦t≦1/2で｜t-2x｜= t-2x
ii)0≦t≦xで｜t-2x｜= －(t-2x)
x≦t≦1/2で｜t-2x｜= t-2x
iii)0≦x≦1で｜t-2x｜= －(t-2x)
ということですか?