積分関数の問題がわかりません。

質問

クリアー数学演習I・II・A・Ｂ受験編の164がわかりません。詳しい解き方を教えてください。

関数f(x)が等式f(x)=x＾2-x∫(0→1)f(t)dt+2∫(1→x）f´(t)dtを満たすとき、次の問いに答えよ。

(1) f(x)は2次関数であることを示せ。

(2) f(x)を求めよ。

[06 佐賀大]

(2)の答えはf(x)=-x^2+2/3x+2/3です。

お願いします。

回答No.4

Tacosan

微分積分学の基本定理を使えば f(x) が 2次であることは容易＞#1.

回答No.3

noname#152422

(1)

∫(0→1)f(t)dtがxに依存しない定数であることと、∫(1→x）f´(t)dtの積分は直接計算できることを使います。

(2)

その二次式の一次の項と定数項を文字で置いて、∫(0→1)f(t)dtを計算します。

あとはその文字間の連立方程式を解きます。

回答No.2

gohtraw

∫(0→1)f(t)dtは定数になるのでこの値をａとします。
また、
∫(1→x）f´(t)dt＝ｆ（ｘ）－ｆ（１）となります。
これらを元の式に代入すると
ｆ（ｘ）＝ｘ＾２ーａｘ＋２ｆ（ｘ）－２ｆ（１）
２ｆ（ｘ）を左辺に移項すると
－ｆ（ｘ）＝ｘ＾２－ａｘ－２ｆ（１）
２ｆ（１）は定数なのでこの値をｂとすると
－ｆ（ｘ）＝ｘ＾２－ａｘ－ｂ
ｆ（ｘ）＝－ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ　・・・（１）
となるのでｆ（ｘ）は二次関数であることが判ります。

あとはx＾2-x∫(0→1)f(t)dt+2∫(1→x）f´(t)dt　を計算し、（１）と係数比較すればａ，ｂの値が判ります。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

おそらく、(1)が示せれば、(2)は係数を置いて計算することで求められますよね。

一つ確認ですが、関数：f(x)については「整式」という記述（表現）はありますか？
I・II・A・Bという範囲なので、整式であるとの前提で以下に。

f(x)が n次の整式であると仮定します。
つまり、f(x)＝ M* x^n+ ・・・（ただし、M≠ 0）の形に表されるということです。

まず、3次式以上に「ならない」ことを示します。
右辺の最高次数は最後の積分の項＝ 2∫(1→x）f´(t) dtから得られます。
これと左辺の最高次数の項を比較すると、「ある矛盾」が出てきます。

f(x)が 1次式にならないことは、右辺を見れば自明ですね。

最後に、2次関数として xの 2次の係数がきちんと求められることを示しておけばいいと思います。
（そうしておけば、(2)を解くときにも使えますよね。）

この手の問題では、右辺 2項目に出てくる定積分は定数扱いにしてしまう。
ということをよく使います。
式自体はごちゃごちゃしていますが、
少し大きな視点で式を捉えることで式の構造が見えてくると思います。