偶関数、奇関数の定積分の式変形について

質問

X=-tとおくと、dx=(-1)dt
Xが-a→0のとき、tはa→0
下端-a、上端0の定積分∫f(x)dxは
=下端0、上端aの定積分∫f(t)dtと変形できる。
ここまでは分かるのですが、そのあと
=下端0、上端aの定積分∫f(x)dxと変形できてしまう理由が分かりません。
tの関数からxの関数に戻したとき、上端と下端の値も変わってしまい、もとの式にもどってしまいます。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

最初に変数を x から t に変えた置換 x = -t と
後でまた t から x に変えた置換 t = x は別のもので、
最初の x と最後の x は、名前は同じでも異なる変数だ
というだけのことです。

お礼

ありがとうございます。置換を何回やっても曲線自体は変わらないということですね！？F(a)-F(0)は同じですもんね。

回答No.4

watecolor1969

>　上記のものはtの関数で、下記のものはxの関数で、曲線が違うと思うんですが…

確かに一般的に考えたら( t の関数)と( x の関数)は座標軸が異なると解釈できるので
違う曲線になりますね。

なので、あなたが疑問に思うのも不思議ではないですが、
そもそも　x　＝　－t　とおいたのは便宜上のことで（x = -x としてしまうとわかりにくいからで）、
今考えている偶関数、奇関数は同じ座標軸上にありますよね
（これがいいすぎなら、そう考えても間違えではないですよね）。
置き換えて定積分の値が同値だということがわかったので、

>　tの関数からxの関数に戻したとき、上端と下端の値も変わってしまい、
>　もとの式にもどってしまいます。

なんてことは考えなくてもいいよということです。
積分の目的を考えたら積分した結果が同じ値になればよいのではないですか？

抽象的な関数で行き詰ったら、具体的な関数で作図して考えてみると良いと思います。

また例えばもっと単純にf(x)=ax^2 ,f(t)=at^2 という関数を比べたとき、x=n,t=n　の場合
f(n)の値は異なりますか？

お礼

異なりませんね！ご親切な説明ありがとうございました！

回答No.2

watecolor1969

> =F(a)-F(0)

ですよね。これは正解です。

じゃあ、同様に考えて

（下端0、上端aの定積分∫f(x)dx）＝ ？

ヒント：単純に考えて
　　　　　下端0、上端aの定積分∫f(t)dt
　　　　　下端0、上端aの定積分∫f(x)dx　
　　　　はなにか違いますか？

お礼

なんどもすみません。同じF(a)-F(0)だとは思うんですが、上記のものはtの関数で、下記のものはxの関数で、曲線が違うと思うんですが…

回答No.1

watecolor1969

あと一歩だと思うんだけどな。

∫f(x)dx = F(x)+C　(ただし、Cは積分定数) としたら、

（下端-a、上端0の定積分∫f(x)dx）＝F(0)-F(-a)

ですよね。

>　下端-a、上端0の定積分∫f(x)dxは
>　=下端0、上端aの定積分∫f(t)dtと変形できる。
>　 ここまでは分かるのです

が理解できているなら、右辺はどうなるかわかりますよね。
そしたら？

お礼

=F(a)-F(0)
ですか？
そしたら…
うーん…。すいません。分かりません。