積分の問題

質問

f(x)はx≧0で定義された連続な関数で、等式int_{0}^{x^2}f(t)dt=int_{0}^{x}t^3cost^2dtを満たす。このときf(x)を求めよ。

f(x)の原始関数とF(x)とすると、
int_{0}^{x^2}f(t)dt=〔f(t)〕(0≦t≦x^2〕
=F(x^2)-F(0)
これを微分すると、
2xf(x^2)

となっていますが、なぜf(0)が書いていないのかがわかりません。
どのように求めたのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> たとえばf(x)=sinxならF(x)=-cosxでF(0)=-1になるのですが、なぜこれはおかしいのでしょうか？

F(0) = -1ですから、F(0) = (定数)です。
この後F(0)を微分するんですよね。
定数を微分したら0になりませんか？

F(x^2) - F(0)
= F(x^2) - (定数)
これを微分すると、
2xf(x^2) - 0
= 2xf(x^2)

という意味です。

お礼

遅くなってしまいました。
よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

arrysthmia

> たとえばf(x)=sinxならF(x)=-cosxでF(0)=-1になるのですが、なぜこれはおかしいのでしょうか？

話の順番がおかしい。
f(x) の原始関数とは、微分したら f(x) になる関数のことで、要するに f(x) の不定積分のこと。
そのような F(x) は、積分定数の違いによって無数にある。その中から一つの F(x) を選ぶためには、
「初期条件」が必要になる。例えば、F(0) = -1 のような…

だから、
「f(x) = sin x なら F(x) = - cos x で F(0) = -1 になる」のではなく、
「f(x) = sin x で、かつ F(0) = -1 なら、F(x) = - cos x になる」のが正しい。

一方、F(0) の値が何であっても、
「f(x) = sin x なら F(x) - F(0) = - cos x」は正しい。
だからこそ、∫[0≦t≦x^2] f(t) dt = F(x^2) - F(0) の右辺に
定数項 - F(0) が必要となる。

ただし、F(0) は、x の関数としては定数関数だから、微分すれば 0 で、
(d/dx){ F(x^2) - F(0) } = (d/dx)F(x^2) - (d/dx)F(0) = (d/dx)F(x^2) - 0 となる。

f(0) が登場する余地は何処にも無い。
何故、f(0) が出くると思ったのだろうか？

お礼

遅くなってしまいました。
よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.1

info22

F(x^2)-F(0)
のF(x^2)はxの関数ですから
xで微分すれば
2xf(x^2)
となります。
一方、F(0)は定数でxの関数ではありませんから
>なぜf(0)が書いていないのかがわかりません。
xで微分すれば0になります。f(0)の出番はありません。

よく考えて見てください。

補足

御回答ありがとうございます。
たとえばf(x)=sinxならF(x)=-cosxでF(0)=-1になるのですが、なぜこれはおかしいのでしょうか？
左辺にも三角関数があるからこのように考えてしまうのですが…
よろしくおねがいします。