数IIの積分の問題

質問

高校の数学の課題なんですが、かれこれ三日いくら考えても(1)ですら手が出せません＾＾；
ヒントだけでよいので教えてください。

問題
0でないxの整式f(x)に対しF(x)=∫from 0 to x,f(t)dt , G(x)=∫from x to 1,f(t)dtとおく。
ある定数p,qが存在してF(G(x))=-{F(x)}^2+pG(x)+qが成立しているとする。
(1)a=∫from 0 to 1,f(t)dtとおくとき,F(x)をaを用いて表せ。
(2)0≦x≦1でのF(x)の最大値が1/2であるとき、f(x)を求めよ。

数IIの問題集に載っている問題なので数IIの範囲で解けると思うのですが、
合成関数の微分など使っても解けますでしょうか。
私はいずれにせよ解けないのですが・・・。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

なかなか「巧妙な」問題ですね。
以下、積分区間は∫[0→1] のように書くことにします。

(1) まず、立てられる関係式を書いていきましょう。
一番ポイントとなる関係式は、次の式です。
F(x)= ∫[0→1] f(t)dt + ∫[1→x] f(t)dt より F(x)+ G(x)= a

この関係式より、F(x)= a- G(x)を定数 p, qの式に代入します。
F(G(x))= - { a- G(x) }^2+ p* G(x)+ q

この式をよ～く見てください。
G(x)= Xとでも置き換えれば、見やすくなるかと思います。
F(X)が Xの式として書かれています（！）

あと、pと qについて考えることになります。
F(x)= ∫[0→x] f(t)dtに
・x=1を代入すると、F(1)= a
・x=0を代入すると、F(0)= 0（積分区間が 0→0だから）
同様に G(x)についても、G(0)= a, G(1)=0が言えます。(1式)からも出せます。
この関係を使うと、pと qも aで表すことができます。

(2) (1)より、F(x)は 2次関数になっています。
2次関数の特定の区間における最大値を考えることになります。
軸と区間の関係で場合分けすることで、求まります。
これは aの値で場合分けすることになります。

回答No.2

naniwacchi

#1です。
一点、訂正個所がありました。

＞同様に G(x)についても、G(0)= a, G(1)=0が言えます。(1式)からも出せます。
＞この関係を使うと、pと qも aで表すことができます。

(1式)と書いていますが、これは F(x)+ G(x)= a のことです。
途中で消してしまい、訂正できていませんでした。

失礼しました。

お礼

ありがとうございます！！！

＞一番ポイントとなる関係式は、次の式です。
F(x)= ∫[0→1] f(t)dt + ∫[1→x] f(t)dt より F(x)+ G(x)= a

本当にそうですね！
「巧妙な」の意味がよく分かりました（笑

おかげさまでなんとかなりそうです＾＾
ありがとうございました。