∫ sin(x)/x dx (0＜x＜∞)

質問

∫ sin(x)/x dx (0＜x＜∞)=π/2
というのはどのように計算するのでしょうか？
複素積分にして原点を避けた経路で積分すればうまく計算できるかなーとか考えたのですがうまくいかなくて困ってます。
ご教授ください。

回答No.1

rnakamra

次の関数を考えます。
f(z)={e^(iz)}/z

(図示できればよいのですが自分で書いてください)
f(z)を次の経路で積分します。
(1)実軸上をε→Rまで
(2)"0"を中心に半径R,虚部≧0の半円上を反時計回りに半回転して-Rまで
(3)実軸上を-R→-εまで
(4)"0"を中心に半径ε,虚部≧0の半円を時計回りに半回転してεまで
(1)～(4)の閉じた経路に囲まれた領域内でf(z)は正則であるから、この積分の和はゼロになる。

ここでR→∞、ε→0の極限をとる。
R→∞で(2)の経路での積分は"0"に収束する。(これは自分で確かめること)
(1)と(2)の積分であるがf(x) (xは実数)の実部と虚部はそれぞれ
Re(f(x))=cos(x)/x
Im(f(x))=sin(x)/x
となるが、Re(f(x))は奇関数であるから、(1)での積分と(3)での積分は相殺する。逆にIm(f(x))は偶関数であるから、(1)での積分は(3)での積分と同じ値になる。
つまりR→∞の極限で、((1)の積分の虚部)×2×i+(4)の積分=0
となる。後は、ε→0として(4)を計算する。

お礼

おお！理解しました！ありがとうございます！