簡単な積分計算について

質問

積分についてのとても初歩的な質問なのですが・・・

2 *∫1 / (x^2 + 2c) dx = 2*(1/√2ｃ) * arctan √(2ｃ) * x

でよろしいんでしょうか？
問題の回答には

2 *∫1 / (x^2 + 2c) dx = 2*(1/√2ｃ) * arctan (x / (√2ｃ)) とあって、少し不安です。

回答No.2

tarame · ベストアンサー

ｘ＝√2c*tan(ｔ)と置換すると、ｔ＝arctan{x/(√2c)}ですから
問題の回答のほうが正しいです。

お礼

ご返答ありがとうございます！

置換して計算したところ、参考にしていた本の公式が間違っていたということになりました・・・(汗
ありがとうございました！

回答No.4

info22

#3です。
A#3の訂正です。
＞c<0であれば
＞2 *∫1/(x^2 + 2c) dx = -2*(1/√(-2ｃ)) * arctan (x/(√(-2ｃ))) + C
2 *∫1/(x^2 + 2c) dx = -2*(1/√(-2ｃ)) * arctanh (x/(√(-2ｃ))) + C
または　={1/√(-2c)}(log[{x-√(-2c)}/{x+√(-2c)}]) +C
と訂正して下さい。

お礼

ご返答ありがとうございます！

条件としてはＣは任意の定数ですので、二つのパターンに関しては考えなくてもよいようです。
計算してみたら、ご指摘の結果が出ました、ありがとうございますｍ(＿＿)ｍ

回答No.3

info22

c>0であれば
#1さんの言われる通り、問題の解答のように
2 *∫1/(x^2 + 2c) dx = 2*(1/√(2ｃ)) * arctan (x/(√(2ｃ))) + C
が正しいですね。
問題にc>0の条件はついていませんか？
cの条件がなければ下記の場合も含めた解答でないと不完全な（正しくない）解答になりますね。

c<0であれば
2 *∫1/(x^2 + 2c) dx = -2*(1/√(-2ｃ)) * arctan (x/(√(-2ｃ))) + C
c=0であれば
2 *∫1/(x^2 + 2c) dx =-2/x
となります。

回答No.1

Tacosan

微分してみればいいと思うんだけどねぇ.
分母に x^2 + 2c を出さないといけないので, arctan の中は x/(√(2c)) です.

お礼

今まで公式たよりなやり方で理屈を理解してませんでした・・・
微分で出す事が出来ました、ありがとうございますｍ(＿＿)ｍ