ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください

質問

※a→は「aベクトル」という意味です。
平行四辺形OABCがあります。OAの中点をD、OBを２：１に外分する点をEとします。さらに、点PはOP→＝sOA→＋tOB→ (s、tは実数)を満たしています。OA→＝a→、OB→＝b→とおくと、

（１）点Pが直線DE上にあるとき、sとtの関係式を求めてください。（途中式もお願いします。）

（２）2t－s=1を満たすとき、点Pの描く直線をLとします。LとDEとの交点をFとするとき、OF→をa→とb→を用いて表してください。また、面積比△OAB：△OFEを求めてください。 （途中式もお願いします。）

ちなみに答えは、
（１）4s+t－2=0
（２）OF→＝(a→/3)+(2b→/3)、３：２
です。

回答No.5

suko22 · ベストアンサー

私なりの回答を。
以下、ベクトル記号は省略します。

(1)OP=sOA+tOB・・・（i）
OA=2OD,OB=(1/2)OEより
　OP=2sOD+(t/2)OE
点Pは直線DE上にあるから、
　2s+t/2=1が成り立つ。（←△ODEで直線DEが点P上にある条件）
　よって、4s+t-2=0

(2)点Fは直線DE上の点だから、s,tは
　(1)の4s+t-2=0と(2)の条件2t-s=1の連立方程式の解として決まる。
　解くと、s=1/3,t=2/3
　このとき（i）式の点Pが点Fになるから、
　OF=(1/3)OA+(2/3)OB・・・（ii）

　内分の公式を考えると（ii）式から
　点Fは線分ABを2：1に内分する点であることがわかる。
　△OABの面積をSとすると、
　△OFB=S*(1/3)=S/3
　OB:BE=1:1より、△FEB=△OFB=S/3
　よって、△OFE=△OFB+△FEB=S/3+S/3=2S/3
　ゆえに、△OAB:△OFE=S:2S/3=3:2

図を描いて確認してください。

考え方ポイント）まずは条件にしたがって図を書いてください。
　　　　　　　　内分、外分の公式の意味、使い方をしっかり理解する（基礎）。
　　　　　　　　面積比は前回の問題同様、高さ共通、底辺比が面積比（基礎）。

回答No.6

yyssaa

補足
質問なんですが、（１）の問題のOBとOAの値は１なんですか？
＞何故そう考える？どこにも１という数字は使っていないが。

回答No.4

yyssaa

＃１です。失礼しました。回答します。
（１）点Pが直線DE上にあるとき、sとtの関係式を求めてください。（途中式もお願いします。）
＞
点Pを通るOBと平行な直線とOAの交点をGとすると、△GDP∽△ODE
からDG/GP=OD/OE。DG=(OA/2)-sOA、GP=tOB、OD=OA/2、OE=2OBを
代入すると、2OB*{(OA/2)-sOA}=tOB*OA/2から、
2{(1/2)-s}=t/2、よって、2-4s=t・・・答え
（２）2t－s=1を満たすとき、点Pの描く直線をLとします。LとDEとの交点をFとするとき、
OF→をa→とb→を用いて表してください。 （途中式もお願いします。）
＞
2t-s=1と4s+t－2=0を連立で解いてt=2/3、s=1/3
よって、OF→=(1/3)a→+(2/3)b→・・・答え
また、面積比△OAB：△OFEを求めてください。
＞以下△は面積を表すものとします。
OE=2OB、OA=2OD、よって△OAB=△ODE・・・(ア)
点Fを通るOAと平行な直線とOBの交点をHとすると、FH=(1/3)OA
OD/FH=(OA/2)/(OA/3)=3/2、よって、△ODE/△OFE=3/2・・・(イ)
(ア)(イ)から△OAB/△OFE=△ODE/△OFE=3/2
△OAB：△OFE=3:2・・・答え

補足

質問なんですが、（１）の問題のOBとOAの値は１なんですか？

回答No.3

alice_44

※ A No.2 で、→DEは、「ベクトルDE」という意味です。
「DE直線」ではなく「直線DE」と言うのと同じく、
常識的には、「DEベクトル」とは言いません。

回答No.2

alice_44

(1)
・ →OD=u(→OA), →OE=v(→OA)+w(→OB) となる実数 u,v,w の値を求める。
・ そのやり方が解からなければ、教科書へ帰る。
・ 上記の→OD,→OEを使って、線分DE上の点を媒介変数表示する。
・ そのやり方が解からなければ、教科書へ帰る。
・ 媒介変数表示と s(→OA)+t(→OB) を係数比較して、sとtを媒介変数で表す。
・ その両式から媒介変数を消去すれば、sとtの関係式が得られる。

(2)
・ (1)の関係式と 2t-s=1 の連立方程式を解けば、→OP=→OF のときの s,t が求まる。
・ 面積比は、△OAB：△ODE と △ODE：△OFE をそれぞれ求めて、掛け合わせる。
・ そのどちらかの面積比が求められなければ、教科書へ帰る。

回答No.1

yyssaa

問題に抜けがあるのでは？

補足

ありませんよ。