有界

質問

有界がいまいちわからないので再度質問させていただきます。

f=1/xは、lim_(x→0)で無限大に接近するので有界ではないけれどていぎいきをx<-1,1<xなどとすれば有界ですよね？

ではf(x)=x^3やf(x)=e^xなどは有界なのでしょうか？　f(x)=e^xやf(x)=x^2は下に有界というのであってますか？上はどうなのでしょうか？

回答No.3

WiredLogic · ベストアンサー

「界」の訓読みは「さかい」なので、
漢文風に「有界」⇒「界(さかい)有リ」と読めば、
意味はそのままです。

y = -e^(-x) は、y = -e^(-x)＜0 ですから、

この「界」を、牧場の境界の「柵」、
グラフ上の点を、飼っている「牛」とでもみれば、

y = 1 でも、y = 5 でも、y = 100 でも、「柵」を作れば、
「牛」は、その「柵」を越えて、上には行かないのは明らかです。

逆に、「牛」の性質は解らない場合に、
適当な(例えば、y=5の)ところに、ある時点で、「牛」が
全部「柵」の下側にいるような場所に「柵」を作って、
「牛」がぶつかったり、乗り越えたりするようなら、
アラームが鳴るセンサーを付けた上で、監視してても、
アラームが一向にならなければ、「牛」の性質上、
その「柵」を越えない、と、結論付けてもよさそうです。

これが、「関数が上に有界である」ということで、
その柵の場所・y=5 を、「上界」といいます。

「有界」という言葉自体には、これ以上の意味はありません。
この続きに書いたような「有界」と一緒に使われる、色々なアイデアに
引きずられて、無用のことを考えて、よく解らなくなっている
のではないかと思います。

「上に有界かつ単調増加する関数は収束する」は
この譬えのまま話を続けるなら、

「牛」が、放っておくと、自分の左の「牛」より、
ちょっとでも上に、でなくても、自分の左の「牛」に、
上に出られるようなことはないように並ぶ性質が
ある場合、それでも、「柵」のセンサーが鳴らないなら、
柵のすぐ側まで来ているか、ずっと下の方にかは解らないが、
「牛」がこれ以上は上に来ないような線ができているはずだ、
ということです。

センサーに機能を付け足して、「柵」のすぐ側まで来たときには、
Ｂの音のアラームが鳴るようにしておくと、

最初のアラームは全く鳴らないが、
Ｂのアラームが鳴りっぱなしになる場合と、
Ｂのアラームも全く鳴らない場合があります。

どちらの「柵」も「上界」なのは間違いありませんが、
Ｂのアラームが鳴りっぱなしになる「柵」は特別で、
この「柵」は、「牛」が「これ以上は上に来ない線」
に建てられていることが解ります。これを「上限」と
いい、これが、「収束」する「極限値」になります。

つまり、「上に有界＝上界を持つ」かつ「単調増加」
からは、「収束」すること＝「極限値」を持つことは
言えても、「極限値」そのものの値は解らない。

「極限値」を求めるには、「上界」の中で一番下に
ある「上限」が解らないといけない、ということです。

回答No.2

eclipse2maven

関数が有界というのは、　その関数の像が実数の部分集合になりますが、その集合が有界か？　ってことです。　本来は定義域をきちんと明示しないと、意味がないです。多分、定義域を断ってないときは、その関数が定義できるすべての範囲の像を考えて、その像が実数の部分集合として有界か問うてるのだとおもいます。

回答No.1

cockpit

同じ#でごめんなさい。

有界は|f(x)|≦mですが
上に有界の場合f(x)≦m
下に有界の場合f(x)≧m
つまり、有界とは上に有界かつ下に有界です。
x^3、e^xなどは有界ではないけれどe^xは下に有界です。