積分は有界？

質問

f(t)が与えられた時に、fの積分、（例えば、tが０からｘまでの積分）が有界であるかを見極めるには、f(t)が０からxまでの間で、有界かどうかを見極めるだけで判断できるのでしょうか？（たとえば、f(t)が0からxで有界なら、その積分も有界であるのように・・)

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

閉区間で有界な関数f(t)が、可積分（リーマン積分可能）ならば、f(t)の積分はその区間内で有界です。

回答No.2

atomicmolecule

有限区間の積分で発散が出るような積分では、必ず被積分関数に発散がなければいけません。

積分が発散→被積分関数の発散

しかし逆は必ずしも成り立ちません。たとえばlog(|x|)は発散しますが∫log(|x|)dx は[－１,+１]で積分可能です（この場合の積分の答えは-2で有限）。
発散の程度が緩やかなために積分は有限になります。

よって積分が出来るかどうかを調べるには、先ず被積分関数の発散をしらべる。x=aでの被積分関数の発散がある場合には、次に発散の程度をしらべます。発散が1/|x-a|よりも緩やかなら積分できる。1/|x-a|よりも激しい発散なら積分も発散します。

回答No.1

kenmogakeu

そうとは限りません