数学の問題がわかりません＞＜

質問

数学の問題がわかりません！よければ教えてください＞＜
I = [0,∞)とおく。
f , f_n ; I → R はI上で有界な関数とし、関数列{f_n}[n=1,∞]は関数 f に I 上で一様収束するとする。

(1)
各n∈Nに対してlim[x→∞]f_n(x) = a_n ∈Rが成り立つならば、数列{a_n}[n=1,∞]はCauchy列であることを示せ。

(2)
(1)と同じ条件の下でlim[n→∞]a_n = A とおくとき、lim[x→∞]f(x) = Aであることを示せ。

回答よろしくお願いします！

回答No.1

c0nfus1an1sm · ベストアンサー

(1)まず自然数 m, n と x∈I に対して
　| a_m - a_n | = | (a_m - f_m(x)) + (f_m(x) -f(x)) + (f(x) -f_n(x)) + (f_n(x) - a_n )|
　　　　≦ | a_m - f_m(x) | + | a_n - f_n(x) | + | f_m(x) -f(x) | + | f_n(x) -f(x) | ---(A)
が成り立ちます．ここで，任意に正数εが与えられたとき，
・各 n∈N に対し lim[x→∞]f_n(x) = a_n ですから，正数 R が存在して次が成り立ちます．
　x > R ならば | a_n - f_n(x) | < ε/4 かつ | a_m - f_m(x) | < ε/4．
・また関数列{f_n}[n=1,∞]は関数 f に I 上で一様収束するので，自然数n_0が存在して次が成り立ちます．
　m, n > n_0 ならば，任意の x∈I に対して | f_m(x) -f(x) | < ε/4 かつ | f_n(x) -f(x) | ε/4．
以上から，不等式 (A) より，任意の正数εに対して，任意の自然数m, n >n_0に対して
　 | a_m - a_n | < ε
となるので，数列{a_n}[n=1,∞]はCauchy列です．

(2)同様に，自然数 n と x∈I に対して次の不等式
　| f(x) - A | ≦ | f_n(x) - a_n | + | f(x) - f_n(x) | + | a_n - A | ---(B)
が成り立ちます．任意に正数εが与えられたとき，
・各 n∈N に対し lim[x→∞]f_n(x) = a_n ですから，正数 R が存在して次が成り立ちます．
　x > R ならば | a_n - f_n(x) | < ε/3．
・また関数列{f_n}[n=1,∞]は関数 f に I 上で一様収束するので，自然数n_0が存在して次が成り立ちます．
　n > n_0 ならば，任意の x∈I に対して | f_n(x) -f(x) | ε/3．
・lim[n→∞]a_n = A なので，自然数n_1が存在して次が成り立ちます．
　n > n_1 ならば | a_n - A | ε/3．
以上から，不等式 (B) より，任意の正数εに対して，任意の x>R に対して
　 | f(x) - A | < ε
となり lim[x→∞]f(x) = A が証明できました．

お礼

よく理解できました！ありがとうございました！