fかgかのどちらか一方だけが非有界でもfgは一様連続?

質問

度々スイマセン。

[問]E⊂R:実数体,fとgはEでの一様連続な実数値関数とする。
fかgかのどちらか一方だけが非有界でもfgはEで一様連続と言えるか?
[解]
f:有界,g:非有界としてみると
∀x∈E,∃M∈R;|f(x)|<M
fとgは一様連続なので
0<∀ε∈R,0<δf∈R;(x1,x2)∈{(x1,x2)∈E×E;|x1-x2|<δf}⇒|f(x1)-f(x2)|<ε.
0<∀ε∈R,0<δg∈R;(x1,x2)∈{(x1,x2)∈E×E;|x1-x2|<δg}⇒|g(x1)-g(x2)|<ε.
そこでδ:=min{δf,δg}と採ると,(x1,x2)∈{(x1,x2)∈E×E;|x1-x2|<δ}に対して
|f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)|=|f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)-f(x1)g(x2)+f(x1)f(x2)|
≦|f(x1)|g(x1)-g(x2)|+|g(x2)||f(x1)-f(x2)|
≦M・ε・∞・ε→∞
従って、fgは一様連続ではない
となったのですがこれで正解でしょうか?

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

#1，#2さんと同じく，これでは証明にはなってません．
そもそも「f(x1)g(x1)-f(x2)f(x2)」を何も評価してません．
「一様連続ではない」を証明したいならば
「一様連続ではない」ことの定義に合致することを
示さなければいけません．
きちんと定義をかけますか？

それと・・・蛇足
・わざわざ集合の記法で表記を難しくする必要はありません
・非有界な一様連続関数の具体例がすぐでてきますか？
・有限区間で非有界なその区間で一様連続な関数ってあると思いますか？
・Eは任意の部分集合？

お礼

> #1，#2さんと同じく，これでは証明にはなってません．

納得致しました。確かに証明になってませんね。これは何らかの定数で抑えれる事を述べてませんものね。

> そもそも「f(x1)g(x1)-f(x2)f(x2)」を何も評価してません．
> 「一様連続ではない」を証明したいならば
> 「一様連続ではない」ことの定義に合致することを
> 示さなければいけません．
> きちんと定義をかけますか？

0<∃ε∈R;0<∀δ∈R,(x1,x2)∈{(x1,x2)∈E×E;|x1-x2|<δ}⇒|fg(x1)-fg(x2)|≧ε.
ですね。

> それと・・・蛇足
> ・わざわざ集合の記法で表記を難しくする必要はありません

すみません。

> ・非有界な一様連続関数の具体例がすぐでてきますか？

うーん出てきません。

> ・有限区間で非有界なその区間で一様連続な関数ってあると思いますか？

第六感では無いような気がしますが。

> ・Eは任意の部分集合？
はい、さようです。

あれからずっと考えてるのですがどうしても分かりません
どのように解答できますでしょうか?

補足

反例を見つけました。

f(x):=sinx,g(x):=xは[0,∞)ではそれぞれ有界&一様連続,非有界&一様連続
でも
fg(x):=xsinxは一様連続ではない。

回答No.2

rabbit_cat

ちゃんと見てないので中身はわかりませんが、少なくとも＃１さんの言っていることが正しいということは瞬間的にわかります。

証明ってなんだっけてことを、もう一度冷静になって考えるといいと思います。

お礼

納得致しました。確かに証明になってませんね。これは何らかの定数で抑えれる事を
述べてませんものね。

勘では一様連続と言えないような気がします。

「一様連続ではない」は
「0<∃ε∈R;0<∀δ∈R,(x1,x2)∈{(x1,x2)∈E×E;|x1-x2|<δ}⇒|fg(x1)-fg(x2)|≧ε」
ですよね。

でもこれはどうやって証明すればいいのでしょうか?

どうかお助けください。

回答No.1

koko_u_

>となったのですがこれで正解でしょうか?
不正解です。わかったのはこの式変形では一様連続性を示せないということだけです。

もっと別の方法を使えば証明できる可能性が残されています。
あるいはこの式変形から、反例を思い付くかも知れませんね。

お礼

えー!
上手い方法だと思ったのですが、どのように式変形してけばいいのでしょうか?