数学の質問なのですが…

質問

ε-δ論法に関する問題です。

lim(x→a) f(x) = A
lim(x→a) g(x) = B

のとき、以下を証明せよ。

lim(x→a) f(x)・g(x) = AB

lim(x→a)f(x)/g(x) = A/B (B≠0)

lim(x→a)f(x)=Aならば、aの近傍でAは有界
であることを使うらしいのですが、ご存知の方解答よろしくおねがいします。
ε-δ論法のことは知っているので、そこから解説して頂かなくても結構です。

回答No.2

OurSQL · ベストアンサー

細かい修正が必要です。

>∀ε＞0　∃δ＞0　s,t,
>∀x, ０＜｜ｘ－ａ｜＜δ1⇒｜ｆ（ｘ）－A｜＜ε／２
>０＜｜ｘ－ａ｜＜δ2⇒｜ｇ（ｘ）－B｜＜ε／２
１行目では δ を使っているのに、２行目と３行目でそれぞれ δ1 と δ2 が何の断りもなく登場しています。
１行目は、「∀ε＞0, ∃δ1, δ2＞0 s.t.」とします。

>δ1とδ2のうち小さい方をδとすると、
減点はされないかもしれませんが、δ1 = δ2 かもしれないので「δ = min (δ1, δ2) とおくと、」にします。

で、最後の部分がかなり乱れています。

>あとは、辺々加えて
>｜ｆ（ｘ）－ｐ｜＋｜ｇ（ｘ）－ｑ｜＜ε
>と、証明できますが、
流れがおかしいです（A, B がいつの間にかそれぞれ ｐ, ｑ に変っていることも含めて）。
証明すべきことは、| { f(x) + g(x) }－(A + B) |＜εです。
だから、左辺は | { f(x) + g(x) }－(A + B) | からスタートしないとお話になりません。

| { f(x) + g(x) }－(A + B) |
= | { f(x)－A } + { g(x)－B } |
≦| f(x)－A | + | g(x)－B |
＜(ε／2) + (ε／2) = ε

これで、証明が完成しました。

で、肝心のご質問の件です。
ε-δ論法の基本は理解しているようなので、次のヒントを参考にして、不明点があれば補足してください。

※「lim(x→a) f(x)・g(x) = AB」の証明方針
まず、
| f(x)g(x)－AB | = | f(x)g(x)－f(x)B + f(x)B －AB |
と変形します。

※「B≠0 のとき、lim(x→a) { f(x)／g(x) } = A／B」の証明方針
lim(x→a) { 1／g(x) } = 1／B を証明すれば十分です。
まず、g(x) が分母にあることに注意します。
0＜| x－a |＜δ を満たす任意の x に対して g(x) ≠ 0 が成り立つ必要があります。
もちろん、δ が満たすべき条件はこれだけではありません。
g(x) ≠ 0 と | { 1／g(x) }－{ 1／B } |＜ε が共に成り立つように、工夫して δ を選んでください。

お礼

なんとか理解できそうです！ありがとうございました！

回答No.1

OurSQL

ウォームアップとして、まず

lim(x→a) { f(x) + g(x) } = A + B

を証明してみましょう。

それができないようなら、諦めることですね。

補足

∀ε＞0　∃δ＞0　s,t,
∀x, ０＜｜ｘ－ａ｜＜δ₁⇒｜ｆ（ｘ）－A｜＜ε／２
０＜｜ｘ－ａ｜＜δ₂⇒｜ｇ（ｘ）－B｜＜ε／２

δ₁とδ₂のうち小さい方をδとすると、

　０＜｜ｘ－ａ｜＜δ⇒｜ｆ（ｘ）－A│＜ε／２ かつ ｜ｇ（ｘ）－B｜＜ε／２

あとは、辺々加えて
｜ｆ（ｘ）－ｐ｜＋｜ｇ（ｘ）－ｑ｜＜ε
と、証明できますが、これで大丈夫でしょうか？