グリーン関数を使って電位を求めるには？

質問

今電磁力学で、グリーン関数を習っているのですが、
求める電位の位置が積分する体積の中に在る場合、電位がディリクレ境界条件などで求まるのはわかるのですが、
もし求める電位の位置が積分する体積の外側にある場合、どのようにして電位を求めるのかがよくわかりません。
というのも
グリーンの定理では
Φ(r)＝電位
G(r,r')＝グリーン関数

∫(ΦΔG－GΔΦ）dV'=∫Φ・dG/dnーG・dΦ/dn dS'
で
ΔG＝-4πδ(r-r')
ΔΦ＝-ρ(r')
なため

∫ΦΔGdV'＝∫Φ-4πδ(r-r')dV'＝-4πΦ（r')
∫GΔΦdV'＝∫-ρ(r')GdV'

から
Φ(r)＝1/4π{∫ρ(r')GdV'+∫Φ・dG/dnーG・dΦ/dn dS'}ーーー＊

となり、電位が求まるのはわかりますが、
これってもし仮に　r　（求めたい電位の位置）　がV'の外側にあるとすると

∫ΦΔGdV'＝∫Φ-4πδ(r-r')dV'＝-4πΦ（r')

ここのステップで

∫ΦΔGdV'＝０

となり（δ（r-r')=0だから）、
＊の式は

０＝1/4π{∫ρ(r')GdV'+∫Φ・dG/dnーG・dΦ/dn dS'}
になってしまい、電位が求まらないように思うのです。

にも関わらず、教科書には体積の外側の電位を求める場合にも＊の式を使って
解いているんですが、それが使える意味がわかりません。。

どなたか分かる方、ご指摘お願いします。

回答No.1

heboiboro · ベストアンサー

V'の外の電位を求めるときには、元から積分領域として「V'以外の領域」をとればよいだけだと思います。
つまり、
Φ(r)＝1/4π{∫ρ(r')GdV'+∫Φ・dG/dnーG・dΦ/dn dS'}
この式で、右辺第一項の積分をV'以外の領域に関してとればよいです。
また、V'が積分領域だったときと比べて面積分の符号が反対になることにも注意してください。

お礼

解答ありがとうございます。
V'以外の領域と取ると、確かに上手くいきそうですね！