ポアソンの方程式を用いた電位の求め方

質問

ポアソンの方程式を用いて原点に置かれた単位点電荷による電位を求めるという問題なのですが結果がガウスの法則によって求まる値と異なってしまいました。

一つ前の問題で電位がC/r(Cは定数)と表せることが求められたので、
ポアソンの方程式より ∇^2(C/r)=-ρ(r)/ε
両辺を半径rの円で体積積分すると、ガウスの発散定理より
左辺=∬∇(C/r)・dS
=4πr^2/r^2×{∂(cr^2/r)/∂r} (極座標における発散より)
=4πc

右辺=-1/ε∬∫ρ(r)dv
=-1/ε (原点に単位点電荷があるのみなので)

右辺と左辺を比較することでc=-1/4πεとなり、電位は-1/4πεrとなるのですが、
ガウスの法則によって求めた電場を積分して求められる電位は1/4πεrとなります。（こちらは教科書に載っていたのであっていると思います）

どこが間違っているのでしょうか。
基本的な問題ですがご存知の方、よろしくお願いいたします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>左辺=∬∇(C/r)・dS
>=4πr^2/r^2×{∂(cr^2/r)/∂r} (極座標における発散より)

ここで間違っています。
∇(C/r)は発散ではなく、勾配(gradient)です。
ですから、極座標の発散の公式ではなく、勾配の公式を使ってください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
勾配の公式を使って正しい答えを導けました。