電位の計算

質問

電位の定義式は
Φ(P)-Φ(A)=-∫E・ds
となっている(積分範囲はAからPまでです)のですが、これを極座標系でとると、
Φ(r)-Φ(o)=-∫E・dr
となると思います。

ここで、ベクトルEとベクトルr(o→a方向)の内積が入っているので、Eとrが同じ方向なら右辺は-|E|dr、逆方向なら|E|drとなると思うのですが、教科書では逆になっています。

どう考えればいいのでしょうか。教えてください。

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

>よって、E(r)・dr = -|E(r)||dr|

>先ほどの電位の式に代入して、
Φ(r) = +∫[∞～r]E(r)dr = -Q/4πεr

[∞～r]は∞を始点，rを終点とする積分ですから，
Φ(r) = -∫[∞～r]E(r)dr = Q/4πεr
が正しいのです。すなおに積分してみてください。
定義のdrは，本来r座標の正方向すなわち中心から離れる方向が正です。そしてEの式もrの方向を正とする符号が含まれていますから，この場合絶対値を取る必要はありません。積分範囲を逆にとったことで，自動的に負になるのですよ。この場合drに負号が含まれているのです。通常の∫f(x)dxと比べてみてください。

お礼

何度もありがとうございます。

ようやく意味が理解できました。
drは積分の方向によって向きが変わると思い込んでいました。
drは必ず無限遠方向を向いているのですね。

最後までお付き合いいただきありがとうございました。

回答No.2

yokkun831

>今回の問題では球の中心をΦoとして計算せよとのことです。

中心で有限である電場なのですね？　具体的な電場の形が与えられていないので回答しにくいのですが，一般的な電位の定義はおっしゃるとおり，次のようになります。
Φ(P)-Φ(A)=-∫[A～P]E・ds
テスト電荷qをかけるとそのまま電気力による位置エネルギーの定義になるので分かりやすいのですが，電位は単位電荷あたりの電気力による位置エネルギーです。次の２つの解釈ができます。
(1)単位電荷が基準点AからPまで動くときに，電気力がする仕事の符号を反転させたもの。すなわち，電気力とつりあう外力がする仕事。
(2)単位電荷がPから基準点Aまで動くときに，電気力がする仕事。

単位電荷が微小変位dsを動くときに電気力がする仕事がE・dsですから，その意味はわかりますね？

>ベクトルEとベクトルr(o→a方向)の内積が入っているので

ベクトルEとベクトルdrの内積です。oからaへの積分ではdr>0ですね。
drの符号は電場が球対称でrの関数なのですから，本来中心から離れる方向が正と決まっています。そして，積分の方向によっておのずと符号は定まると思いますがいかがでしょうか？積分方向によって自分で符号をとりかえる必要はないはずです。通常Eにdr>0に対応する符号がすでに含まれるからです。

お礼

yokkun831さん、回答ありがとうございます。

丁寧に教えていただいているのに理解することができません。
もっと簡単な問題として、原点にQ[C]の点電荷があるとしたとき、電界は点電荷から無限遠方向へと向き、
E(r) = Q/4πεr^2
となり、無限遠で0Vとしたときの電位は、
Φ(r) = -∫[∞～r]E(r)・dr

ここで、内積E(r)・drを|E(r)||dr|cosθに展開したときθはEとdrのなす角を意味し、Eの方向が無限遠方向、drの方向が中心方向であるから、cosθ = -1。
よって、E(r)・dr = -|E(r)||dr|

先ほどの電位の式に代入して、
Φ(r) = +∫[∞～r]E(r)dr = -Q/4πεr
となってしまいます。
教科書と符号が違うのです。。

お忙しいとは思いますが、どこで間違えているのか教えてもらえないでしょうか。

回答No.1

yokkun831

>Φ(r)-Φ(o)=-∫E・dr
と書かれていますから，考えている電場は球対称のものと考えてよいでしょうか？
もし，点電荷がつくる電場のように球対称の電場についての議論であれば，電位ゼロの基準は無限遠（r=∞）にとるのが普通です。点電荷のつくる電場による電位の式を考えるとわかるように，原点r=0は電場も電位も発散してしまいますから基準とすることができないのです。
したがって，球対称な電場による電位の定義は，
Φ(r)-Φ(∞)=-∫[∞～r]E・dr
となります。積分方向を考えると，Eとrが同じ方向ならばEとdrとが逆向きになるので結果的にΦ(r)>0となるのです。

お礼

回答ありがとうございます。

電場は球対称です。
一般的には基準を無限遠にとるべきなのですが、今回の問題では球の中心をΦoとして計算せよとのことです。

>積分方向を考えると，Eとrが同じ方向ならばEとdrとが逆向きになるので結果的にΦ(r)>0となる
ベクトルrとdrは逆の方向だということでしょうか。
yokkun831さんの提示していただいた問題では、ベクトルrは球の中心方向、ベクトルdrは無限遠方向と考えればよいのですか？
もしよろしければこの点について教えていただけるとありがたいです。