ポテンシャル での不等式

質問

ポテンシャル
培風館
佐藤、新濃　著

74ｐ　下から１０行め　での不等式
積分記号∬は３重積分、積分範囲はK

　　M∬( (1/(rr0)) + (1/((r0)^2)) )dV
<=M∬( (1/2)(1/(r^2) + 1/(r0^2)) + (1/((r0)^2)) )dV　　　(1)
<=2M∬( 1/((r0)^2) )dV　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)
=4M4πδ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

上の式変形で(1)～(2)～(3)にできる理由が分かりません。

(1)～(2)　についての理由はまったく分かりません。

(2)～(3)　については
<=2M∬( 1/((r0)^2) )dV　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)
<=4M4πδ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

ではないかと思っています。

式変形の理由がお分かりの方、よろしくご指導ください。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(1)の理由は
(1/r^2)と(1/r0^2)の相乗平均≦相加平均
∵
(1/2)[(1/r^2)+{1/(r0)^2}]-{1/(rr0)}
={(r0)^2+r^2-2rr0}/{2r^2(r0)^2}
=(r-r0)^2/{2r^2(r0)^2}
≧0
だから
1/(rr0)≦(1/2)[(1/r^2)+{1/(r0)^2}]
の両辺に{1/(r0)^2}を加えると
{1/(rr0)}+{1/(r0)^2}≦(1/2)[(1/r^2)+{1/(r0)^2}]+{1/(r0)^2}
だから
M∬[{1/(rr0)}+{1/(r0)^2}]dV
≦M∬[(1/2)[(1/r^2)+{1/(r0)^2}]+{1/(r0)^2}]dV……(1)

(2)の理由は
(r0)^2≦r^2
ならば
1/r^2≦1/(r0)^2
(1/r^2)+{1/(r0)^2}≦2/(r0)^2
(1/2)[(1/r^2)+{1/(r0)^2}]≦1/(r0)^2
(1/2)[(1/r^2)+{1/(r0)^2}]+{1/(r0)^2}≦[2/{(r0)^2}]
だから
M∬[(1/2)[(1/r^2)+{1/(r0)^2}]+{1/(r0)^2}]dV
≦2M∬[1/{(r0)^2}]dV……(2)

(3)
∬[1/{(r0)^2}]dV=8πδならば2M∬[1/{(r0)^2}]dV=4M4πδ……(3)
か
∬[1/{(r0)^2}]dV≦8πδならば2M∬[1/{(r0)^2}]dV≦4M4πδ
のどちらかは
r0,δと積分範囲Kをどのように定義したかによって異なる

お礼

ありがとうございます。
返事が送れて申し訳ありません。

2)の理由は
(r0)^2≦r^2
ならば

とのことですが、
私には、この不等式が成立するか否かが分からないのです。