球面の積分

質問

大学初年度の学生です。積分の方法がわからなくて困ってます。

原点中心半径rの球面上に、電荷が電荷密度がσ(z)で与えられるような関数で分布しているとき、原点における電位はどうしたら計算できるのでしょう？
点電荷が作る電位
(4πεＱ) / Ｒ
を用いて微小面が作る電位を足し合わせるのだろうとは思ったのですが、
微小面のとり方がよくわかりません。
おそらくは球の表面積を求める積分計算がわかれば求められるのかとは思うのですが、、、
（球の表面積の求め方は体積を積分する仕方しか知りません）

回答No.1

0123456789A · ベストアンサー

デカルト座標では微小体積要素はdxdydzですが、
球座標ではr^2drsinθdθdφになります。
面積を求める時は今半径Rなので(ｒ方向には積分しないので)
R^2∫_{0}^{2pi}dφ∫_{0}^{pi}sinθdθ=4piR^2
となります。

この場合はガウスの定理をもう一度勉強したほうがいいですね。
電磁気のテキストの一番最初に出てくることなので、一からしっかり勉強しましょう！

お礼

なるほどよくわかりました。
何故か今使っているテキストはこうした積分計算に関する手法の解説がぜんぜん載っていなくて・・・
今度手頃な演習書でも探してみます。
何はともあれありがとうございました。