半径Rの円に内接する四角形ABCDについて

質問

各辺の長さと角度について
AB=AD=√3、BD=2√2、cos<ABC=√3/3
sin<BAD=2√2/3、R=3/2、AC=√6
を満たす。

この時の辺CDの長さを求めよという問題です。

求め方と回答の方法が分かりません。
ご回答宜しくお願い致します。

【補足】
余弦定理と正弦定理以外のやり方が必要または
知っておかなければいけない知識があれば合わせて提示して頂きたいです。
お願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

各辺の長さと角度について
AB=AD=√3、BD=2√2、cos<ABC=√3/3
sin<BAD=2√2/3、R=3/2、AC=√6
を満たす。

＞この時の辺CDの長さを求めよという問題です。

△ＡＢＣで、ＢＣ＝ｘとおくと、
余弦定理より、
ＡＣ^2＝ＢＣ^2＋ＡＢ^2－２×ＢＣ×ＡＢ×cos<ABC
（ルート６）^2＝ｘ^2＋（ルート３）^2－２×ｘ×ルート３×（√3/3）
６＝ｘ^2＋３－２ｘ
ｘ^2－２ｘ－３＝０
（ｘ－３）（ｘ＋１）＝０
ｘ＞０より、ｘ＝３よって、ＢＣ＝３
ＢＣは、外接円の直径だから、（R=3/2）
△ＢＣＤは、角ＢＤＣ＝９０度の直角三角形
ＣＤ^2＝ＢＣ^2－ＢＤ^2＝３^2－（２ルート２）^2＝１
よって、ＣＤ＝１

何かあったらお願いします。

お礼

ferienさん早速のご回答有難う御座いました。
解答例をトレースして行き、実際に問いてみたところ
理解できました。有難う御座います。

>ＢＣは、外接円の直径だから、（R=3/2）
>△ＢＣＤは、角ＢＤＣ＝９０度の直角三角形
この部分を読み、理解した瞬間ある番組を思い出しました。
それは、トリビアの泉です。「へぇー」とつい口に出してしまいました。
今は、頭の中が研ぎ澄まされた感じになっています。
本当に有難う御座いました。

また、質問させて頂いた際にはご回答宜しくお願い致します。

回答No.1

151A48

△ＡＢＣで余弦定理。ＢＣ＝ｘとすると
3+x^2-2√3xcos∠ＡＢＣ＝６
x^2 -2x-3=0 (x-3)(x+1)=0 x>0より　x=3
△ＡＢＤで余弦定理。cos∠BAD=(3+3-8)/2・√3・√3 =-1/3
cos∠ＢＣＤ＝cos(180°-∠ＢＡＤ)=-cos∠ＢＡＤ＝1/3
△ＢＣＤで余弦定理。ＣＤ＝yとすると
y^2 +9-2・3・ycos∠ＢＣＤ=8
y^2 -2y+1=0 (y-1)^2=0 y=0

お礼

151A48さん早速のご回答有難う御座います。

>3+x^2-2√3xcos∠ＡＢＣ＝６
この式はどのような公式を用いているのでしょうか？
せっかく、ご回答を頂いたのに理解力が足らず申し訳ないです。

回答を見る限り、y=1の時がcdとなっていますので、
cd=1というところは理解できましたが…。

また、分からない事がありましたら、質問させて頂こうと
考えています。その際は、宜しくお願い致します。