４角形ABCDが円に内接しており

質問

４角形ABCDが円に内接しており
　AB=BC=2,CD=3,DA=5
である。このとき
(1)対角線BD,ACの長さをそれぞれ求めよ。
(2)４角形ABCDの面積を求めよ。
(3)対角線BD,ACの交点をEとするとき、∠AEBの大きさを求めよ。

という問題です。解いてみた結果、

(1)は、BD=√19,AC=16/√19
(2)は、4√3
となりました。
(3)は、

∠AEB=αとおくと
　∠AEB=∠DEC=α
　∠AED=∠BEC=180°-α
したがって
　?AEB=(1/2)*AE*EB*sinα・・・?
　?AED=(1/2)*AE*ED*sin(180°-α)
　　　　=(1/2)*AE*ED*sinα・・・?
　?BEC=(1/2)*BE*EC*sin(180°-α)
　　　　=(1/2)*BE*EC*sinα・・・?
　?CED=1/2*CE*ED*sinα・・・?
?+?より
　(1/2)*AE*(BE＋ED)sinα・・・?
?＋?より
　(1/2)*EC*(BE+ED)sinα・・・?
?+?より
　(1/2)*(BE+ED)*(AE+EC)*sinα
　=(1/2)*BD*AC*sinα
　=(1/2)*√19*(16/√19)　　　　
=8*sinα
となり、この４つの三角形?AEB,?AED,?BEC,?CEDの面積の和は、
四角形ABCDの面積に他ならないので、(2)の結果と合わせると、
　8sinα=4√3
　∴sinα=(√3)/2
となり、0°＜α＜180°より、sinα=(√3)/2をみたすαの大きさは
　60°,120°

ここまでやってみました。作図したものからは、鋭角の方になると思いますが、
その根拠が示せません。どのように示せばよいのでしょうか?
よろしくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

△ＡＢＤで余弦定理から
cos(∠ABD)=-1/(2√19)で、-1/(2√19)＞-(√19)/(2√19)=-1/2
だから、90°＜∠ABD＜120°です。だからαは120°以上にはならない。

※
∠ADB=∠ACB=∠BACから、△ABE∽△DBAを利用すれば、(1)の途中
での∠BAD=60°を使って、即、α=60°とも求められますね。

お礼

△ABE∽△DBAに気づけば、すでに∠BADの値がわかっていたから、そのままだったんですね！
私としてはこれがわかりやすかったです。
どうもありがとうございました。

回答No.2

noname#104778

AE=a,BE=bとおくと△ABEに余弦定理で
Cosα=(a^2+b^2-4)/2ab ---1
なので鋭角になるにはa,b>0より
a^2+b^2-4>0
を示せばよいことになります。
△ADEにも余弦定理を使って
-Cosα={a^2+(√19-b)^2-25}/{a(√19-b)} ---2
で1,2の連立で
a^2+b^2=4+(・・・)b
みたいな形になるのでa^2+b^2-4>0は示せますね。
もっとうまい方法がありそうですが，パッと思いつかないです。

お礼

計算で求めることもできるのですか。
どうもありがとうございました。

回答No.1

nag0720

作図から鋭角だとしてもいいと思うけど、あえて根拠を示すなら、

AB＝BC　より、∠ADB＝∠CDB
CD＜DA　より、∠ACD＞∠CAD
よって、
∠CED＝π-(∠ECD+∠CDE)＜π-(∠EAD+∠ADE)＝∠AED
従って、
∠CED+∠CED＜∠CED+∠AED＝π
∴∠AEB＝∠CED＜π/2

お礼

ありがとうございます。
弦の長さで角度の大小比較ができるのですね。
参考になりました。