どうしても解けません

質問

△ABCにおいて、辺BC上の1点をDとし、∠ABC＝45°、∠ACB＝30°、BD＝3√2、AD＝2√3とする。
このとき、∠BAD、CD、AB、AC、△ABCの面積を求めなさい。

この問題なのですが、途中までは求められたのですが、面積を求めるにあたってBCの値がわかりません。余弦定理を使おうと思ってもsin105°？
となってしまい、先に進みません。
BCの求め方を教えて下さい！お願いします。

回答No.6

Meowth · ベストアンサー

△ABCにおいて、辺BC上の1点をDとし、∠ABC＝45°、∠ACB＝30°、BD＝3√2、AD＝2√3とする。
このとき、∠BAD、CD、AB、AC、△ABCの面積を求めなさい。

∠BAD=αとすると
sinα/3√2=sin45°/{2√3}
sinα=3√2×1/√2/2√3=√3/2
α＝60°　または、120°
αは105°以下だから
∠BAD=60°
∠CAD＝105-60＝45°
CD/sin45°＝2√3/sin30°
CD=sin45°×2√3/sin30°=1/√2×2√3/{1/2}
= 2√6
AB=BDcos45°＋ADcos60°＝3√2×1/√2＋2√3×1/2
＝3＋√3
ΔCAB相似ΔCDA
BC=3√2＋ 2√6
AC＝x　とすると、2√6：x＝x：3√2＋ 2√6
x^2=(3√2＋ 2√6)2√6=12√3+24
x=√(12√3+24)=√6√(2√3+4)=√6(√3+1)=
(ABはこれから2√6：2√3＝2√3：AB
でもでる）
△ABC＝1/2*(3＋√3)/√2*(3√2＋ 2√6)
＝1/2*(3＋√3)*(3＋ 2√3)={9+12+(3+6)√3}/2
={21+9√3}/2

回答No.7

Meowth

直角三角形の比だけてもとめるなら

DからABに垂線を下ろしてその交点をHとすると、
BH=DH=3
AD=2√3から
角BAD=60°

AB=BH+AH=3+√3BH+AH=3+√3
DからACに垂線をおろしその交点をKとすると
角DAC=角DAK=45°
AK=AD＊1/√2＝√6
DK=AK=√6
CD=2*DK=2√6
CK=2√6×√3/2=3√2
AC=AK+CK=√6＋3√2
BC=BD+DC=3√2＋2√6

回答No.5

takeches

点Dの位置で答えが変わっていますので、答えが出せませんでした。

まず余弦定理を用いて
(2√3)^2=AB^2+(3√2)^2-2×AB×3√2×cos45°
AB=3±√3

このとき、3+√3なのか、3-√3かを判別することができません。
なぜなら、BD=3√2で、∠ABD=45°で、AD=2√3の三角形は2つあるからです。

とりあえず、3±√3のまま計算します。

次に、∠Aから垂直に降ろした線分とBCとの交点をHとする。
すると△ABHは直角二等辺三角形になるので、
1:√2=AH:(3±√3)
AH=BH=(3√2±√6)/2

三角形AHCは正三角形を半分にした三角形なので、
1:2=(3√2±√6)/2:AC
AC=3√2±√6
1:√3=(3√2±√6)/2:CH
CH=(3√6±3√2)/2

あとは、BC=BH+CHです。

というわけなので、もう少し条件をいただきたいです。

回答No.4

noname#47894

補足ですが、
ＡＣも出ていれば、第一余弦定理（あまり教えなくなっていますが）で、
ＢＣ＝ＡＢcosB＋ＡＣcosC
でもでます。

回答No.3

redowl

ヒント
点Aから直線BCに垂線引けば、
　45,45,90度　と　30,60,90度の　直角三角形
これらの三角形の　辺の比は、　直ぐ出てくるでしょ？

BADの角度も正弦定理で・・・

回答No.2

neta

sin(105)=sin(60+45) として、加法定理を使ったらどうですか。

回答No.1

noname#47894

> 途中までは求められたのですが
もし、CDが求められているのなら、
ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ