独立

質問

ベクトルx,yが直交するときx+yとx-yが一
次独立になることの証明を、どなたかお願
いします。

回答No.4

alice_44

質問の条件では、独立とは限りません。
x, y の一方が 0ベクトルであれば、
x, y は直交、かつ、x+y, x-y は従属
になるからです。
「直交」の定義を、教科書で確認してください。

x, y は 0ベクトルでない という条件が
付いているのであれば、
A(x+y)+B(x-y)=0 のとき、
A(x+y)+B(x-y) と x との内積をとって A+B=0、
y との内積をとって A-B=0 が判るから、
A=B=0 が言えて、独立が示せます。

お礼

ありがとうございました

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

x と y は直交なので一時独立。つまり
ax+by=0 のとき a=0, b=0 (1)

c(x+y)+d(x-y) = (c+d)x + (c-d)y=0 だから　

最初の (1) より c+d=0, c-d=0　
→ c = d = 0 →x+y, x-y は一次独立。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

titaniumcation

背理法で証明する
もしx+yとx-yが一次独立でないと仮定したら
x+y=k(x-y)となる実数kが存在する
このときy=((k-1)/(k+1))xとなりxとyは平行であり、直交することに矛盾する

お礼

ありがとうございました

回答No.1

151A48

ｘ，ｙが直交していればｘ，ｙは１次独立。
もし，ｘ＋ｙ，ｘ－ｙが１次従属なら　ｘ＋ｙ＝ｋ（ｘ－ｙ）　：ｘ，ｙはベクトル，ｋはある実数と読んで下さい。
すると　（１－ｋ）ｘ＋（１＋ｋ）ｙ＝０　
１－ｋと１＋ｋは同時に０になれないので，ｘ，ｙが１次独立であることに反する。
∴ｘ＋ｙ，ｘ－ｙは１次独立。

お礼

ありがとうございました