ベクトル空間（入門レベル）

質問

線型代数（入門レベル）を勉強し始めたばかりで、証明の問題に悩んでいます。

問．Vをベクトル空間とする。
（１）x1,x2,・・・,xn ∈V がVの生成系ならば、y ∈Vを付け加えた
x1,x2,・・・,xn,y もまたVの生成系であることを証明せよ。

（2）x,y,z ∈Vが線型独立であるとき、x+y, y+z, z+x も線型独立で
　　あることを証明せよ。

（１）は、シュタイニッツの交換定理を用いて証明できるのかなと思ったのですが、よく分からなくなりました。
（2）は、x+y, y+z, z+x が線型独立でないとすると、x,y,z ∈Vが線型独立であることに矛盾することを示せばいいのでしょうか。

解決の糸口だけでもいいので教えてもらえたら助かります。
お願いします。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

yはx1,…,xnの線型結合で書けるので、x1,…,xn,yの線型結合全体の
集合はx1,…,xnの線型結合全体の集合に一致する。すなわち、Vに
一致する。これは、x1,…,xn,yがVの一つの生成系であることを意味す
る。（シュタイニッツの交換定理って何だろう？初耳）

x+y,y+z,z+xに関する線型結合a(x+y)+b(y+z)+c(z+x)=0をx,y,zに関して
整理しなおして、x,y,zのすべての係数＝０とすると、a=b=c=0が出る。
これは、x+y,y+z,z+xが線型独立であることを意味する。

お礼

分かりやすい説明ありがとうございます。

回答No.2

koko_u_

考えすぎです。最初は定義に立ち返って証明を試みて下さい。

結果として、何らかの先人の結果を利用することになるにせよ、直接的な証明を試みることによって命題に対する「実感」を得ることができます。