統計学 独立かどうかについて

質問

いつもお世話になっております．
次の問題の考え方が分からないために困っております．

XとYは同時確率密度関数が次のように定義されている連続型同時分布関数である．

f(x,y)=(3/2)y^2 （0≦x≦2, 0≦y≦1）
　　 =0 （その他）

1.XとYの周辺確率分布関数を求めなさい．
2.XとYは独立であるかを調べなさい．
3.{X＜1}という事象と{Y≧1/2}という事象は独立であるかを調べなさい．

1についてはfX(x)=1/2,fY(y)=3y^2と算出でき，その結果を用いて2の答えは独立であると分かったのですが，3に関してはどうすればいいのか全く分かりません．
どなたかご教示いただけないでしょうか？何卒よろしくお願い致します．

回答No.1

adinat · ベストアンサー

確率変数XとYが独立であれば、{X<1}という事象と{Y≧1/2}という事象は明らかに独立です。Xが1未満であるということと、Yが1/2以上であることは明らかに無関係だというわけです。数学的には、事象AとBの独立性は
P(A∩B)=P(A)P(B)
で定義されます。密度がわかっているので、それぞれ簡単に計算できますから、それを確かめても構いませんが、やはりXとYが独立なので、3は明らかに独立だ、と結論して欲しいところです。実際計算すれば、密度関数がそれぞれxだけとyだけに分かれるので、重積分が逐次積分される、というイメージです。

注意すべきはその逆で、 {X<1}という事象と{Y≧1/2}という事象が独立であっても、一般に確率変数XとYが独立になるとは限らないということです。

お礼

実際に，P(X<1 and Y≧1/2)，P(X<1)，P(Y≧1/2)を計算すれば良かったわけですね．
ご回答ありがとうございました．