線型独立性

質問

3本のn次元ベクトルp1,p2,p3が線型独立なら、この内の2本p1,p2も線型独立であることを証明せよ。
対偶などで証明すればいいのでしょうか？
よろしければ　証明していただけないでしょうか＞？

回答No.5

noname#111804

Pnをｎ次元ベクトルとする。
P１（ｐ１１、ｐ１２、ｐ１３、・・・ｐ１ｎ）
P2（ｐ２１、ｐ２２、ｐ２３、・・・・ｐ２ｎ）
・
・
・
Pｎ（ｐｎ１、ｐｎ２、ｐｎ３、・・・ｐｎｎ）
とする。

基底ベクトルを次のように定める。
i（１）、ｊ（２）、ｋ（３）、・・i（nー２）、ｊ（n-1）、ｋ（n）

ベクトル外積P2XP3を次のように定める。
P2XP3
＝｜i(１）、　　ｊ（２）、　ｋ（３）　｜
　｜ｐ（２１）、ｐ（２２）、ｐ（２３）｜
　｜ｐ（３１）、ｐ（３２）、ｐ（３３）｜

　｜i(４）、　　ｊ（５）、　ｋ（６）　｜
＋｜ｐ（２４）、ｐ（２５）、ｐ（２６）｜
　｜ｐ（３４）、ｐ（３５）、ｐ（３６）｜
・
・
・
・
・
　｜i(n-2）、　　　　ｊ（n-1）、　　　　　　ｋ（ｎ）｜
＋｜ｐ（２、(n-2））、　ｐ（２、（n-1））、ｐ（２n）｜
　｜ｐ（３、(n-２））、ｐ（３、(n-1））、ｐ（３、ｎ）｜

とする時。
P1・（P2XP3)＝C1　（C1はゼロでない）
が成り立つとき、P1,P2,P3は一次独立である。

このとき
（P2XP3）＝C2　　（C２はゼロVectorでないので。）
が成り立つので、P2,P3は一次独立である。

故にP1,P2,P3が一次独立のとき
他の２個のVectorは一次独立となる。

証明終わり。（これでどうかな？）

回答No.4

noname#111804

間違いました。
＃２は無視してください。

たしかに、n次元のベクトル外積は聞いたことがありません。

回答No.3

KI401

それ全くもって証明になってないしょ。＞A#2

ｋｌｍってなんぞ？基底だろうけど証明としては説明なしは減点対象でしょうに。
p(l)とかの記法も、何故に問題で与えられたのと違う書き方をするのか。

> [ｐ（ｌ）ｘｐ（ｍ）]=C２　　（C2はゼロでない。）
も意味不明。C2がスカラーでなくnon-zero vectorだと言うなら納得するが、
C1がスカラーでC2がベクターだってのはあまりにも統一性がない。

あと３次元でベクトル三重積がnon-zeroなら確かに一次独立だが、
その方法で一般の「ｎ次元」の場合を解けるの？
今ベクトルは３本だが、３次元ベクトルとは保障されていない。
僕は今のところ４次元以上の外積について定義を知らないし、確か無理やり定義しても、
３次元のように有用なものにならないと言う風に記憶しているのだが。
もし知ってるなら、４次元以上のベクター空間で外積をどう定義するのか是非説明してほしい。

回答No.2

noname#111804

ｐ（ｋ）・[ｐ（ｌ）ｘｐ（ｍ）]=C１　（C１はゼロでない。）
とき、ｐ１、ｐ２、ｐ３は一次独立である。

すなわち、かならず
[ｐ（ｌ）ｘｐ（ｍ）]=C２　　（C2はゼロでない。）

がなりたつ。すなわち残りの2組のベクトルは
必ず、一次独立となる。

証明終わり。

回答No.1

KI401

そうですね。対偶を使うのが楽そうです。

p1,p2が線形従属なら、「線形結合=0」が自明でない解を持つことになり、
p1,p2,p3についての線形従属性が言えるはずです。

まずはきちんと線形独立の定義を教科書で確認してください。