証明問題 「ベクトル場と曲線の直交」

質問

証明問題で、
『xy平面上の関数φ(x,y)に対して次式で定義されるベクトル場E(x,y)

　　E(x,y) = -∇φ(x,y) = -{(∂φ/∂x)ex+(∂φ/∂x)ey}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ex, ey はそれぞれxとyの単位ベクトル)

　は、φ(x,y) = 一定である曲線の接点と各点で直交することを示せ。』

という問題なのですが、どのように証明すればよいのか分からずに困っています。
どなたか分かる方がいらっしゃればアドバイスなどお願いいたします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

φ(x,y)=一定 という曲線の
媒介変数表示を x=p(t), x=q(t) と置くと、
t について恒等的に
φ(p(t),q(t))=一定 が成り立つ。
この式を t で微分すると、
E(p,q)・(p',q')=0 という式が得られる。
この内積は、何を表しているか？

お礼

直交条件を示すのに、媒介変数を使う方法があったんですね。
貴重なアドバイスありがとうございました！

回答No.1

rnakamra

点(x0,y0)において、φ(x,y)=一定となる曲線の接線ベクトルを求めて、E(x0,y0)と直行すること、つまり内積が"0"であることを示せばよいのです。

φ(x,y)の全微分を求めて、φ(x,y)=一定ではdφ(x,y)=0の条件からdxとdyの比、つまり方向ベクトルが求められるはずです。

お礼

「直交といえば内積0」という基本を忘れておりました。
ありがとうございます、いまから解いてみます！