生成系と線型独立

質問

Ｖはベクトル空間である。

Ｖの元　x1,x2,…xn　はＶの生成系である。

これらｎ個のベクトルからx1,x2,…xnから任意の１個を取り除いた残りの　n-1個のベクトルはＶの生成系をなさないとする。

このとき、x1,x2…xnは線型独立であることを証明せよ。

かなりの初心者です(>_<)どーぞよろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan

基本的に背理法は対偶証明と同じなので, 対偶を証明してもいいと思う. つまり
「x1, x2, ..., xn ∈ V が V の生成系であって一次独立でないと仮定すると, ある 1つのベクトルを取り除いてもなお V の生成系である」
ですな. 一次独立でないと仮定するので一般性を失うことなく
xn = a1x1 + a2x2 + ... + a(n-1)x(n-1) (a1, a2, ..., a(n-1) は定数)
と置いてやると簡単.

お礼

ありがとうございます。
またよろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl

背理法で示せると思います。
x1,x2…xnが線形従属であると仮定した場合、
「ｎ個のベクトルからx1,x2,…xnから任意の１個を取り除いた残りの　n-1個のベクトルはＶの生成系をなさない」
という事に矛盾が出ないかを考えてください。

どうしても分からなければ高校数学に戻り、
2次元空間、3次元空間での線形従属・線形独立のイメージを
しっかり把握する必要があると思います。

お礼

ありがとうございます。
参考になりました。