すべらずにとはどういう意味でしょうか?

質問

よくパズル本などで、コインの周りに、別のコインを接しながら滑らずに回したとき何回転するか？なんて問題がありますが、そのときの「滑らずに」とは、数学的には何を意味するのでしょうか？知見のある方のご意見を伺いたく。
というのも、甥から添付図のように、同心円状にくっついた2つのコインを、２つの面に(y=0とy=1)
接しながら回転させたとき、どっちかは滑っているのか？という質問を受けまして、
私としては滑ってないと答えたのですが、点a,bの移動後の水平位置がなぜ等しい？に答えられません。

回答No.8

alice_44 · ベストアンサー

滑っていても、今回の問題では、
円周上の点と直線上の点は、一対一に対応します。
滑るか滑らないかは、点の対応が一対一かどうか
ではなく、接点が円周上を移動する速度と
直線上を移動する速度が異なるか否か
を言っています。速度が異なるから、
同じ時間に進む距離が異なるのです。
大円と小円は接着されているのですから、
小円は、どこかでまとめて滑るのではなく、
常に一定の割合で滑りながら、回転しています。

お礼

おぉ！　すばらしい。　
接点の移動速度ですね。蒙を啓かれた気がします。
甥に説明しましょう。間違いなく滑っていると。

回答No.7

FT56F001

「すべる/すべらない」と「円周と直線が一点で接する」は違う話です。
r=2の大円が1周してx=4πまで動く間，y=1にある小円はすべらなければ2πまでしか進めません。逆に言えば，小円はすべっています。

「すべらない」の定義は#1さんがおっしゃる通りと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
私は、滑らない事の数学的な定義を間違っていたため、甥に逆襲されたわけですが、
日常的な感覚では、滑るとは、接点がずれるという感じではないかと思います。
円と直線は1点でしか接しませんが、円が回転せず直線上に平行移動したとすると、まさしく滑っているわけです。
そのとき、円周上の点Pは直線上を接しながら移動しています。（つまり直線上の複数の点と接したわけです）
その観点から元の問題をみたとき、滑っている感覚がなかなかつかめなかったわけです。

回答No.6

Knotopolog

＞「滑らずに」とは、数学的には何を意味するのでしょうか？

数学的に，少し，小難しく言いますと，「滑らずに」とは、２つの対象物（２つのコイン）の各点が一対一に対応することです．

２つのコインが滑り合うと，２つのコインの各点は，一対一対応ではなくなります．

「同心円状にくっついた２つのコイン」ですから，２つのコインは，コインの面では滑らないことになります．すると，図のように回転させると，y＝1 の線上で小さいコインは滑っています．逆に，小さいコインは滑らないと回転できません．

もし，２つのコインが，コインの平面で固定されていて，かつ，y＝0 と y＝1 の線上でも滑らないとすると，回転どころか，全く動けません．

又，もし，２つのコインが，同心円状の平面で滑ることが出来れば，y＝0 と y＝1 の線上では滑らないでも回転できます．
この場合は，小さいコインが２回転で，大きいコインは１回転です．

以上の言っている意味，お分かりでしょうか？　つまり，「コインの同心円状の平面」か「y＝0，y＝1 の線上」かの，いずれかが滑らない限り，図に示されたような回転は起こりません．

分かって頂けたでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
数学的に，少し，小難しく言いますと，「滑らずに」とは、２つの対象物（２つのコイン）の各点が一対一に対応することです．

ただですねぇ、2つの異なる曲線（長さは違う）の各点を一対一に対応づけることは可能と思うのですが。
今回の質問の小円周の各点と直線(y=1)上の各点は一対一に対応していると思うのです。というのも円周上のある固定点は直線上のある1点としか接しないので。（直線上の複数の点と接しないと言うこと）
でも長さはちがうなぁと。
というわけで、滑らないという意味と点が1対1対応とは異なることなんだなぁと皆さんの回答を見て理解しつつあるところです。

回答No.5

DJ-Potato

#1です。

滑る場合でも、ある瞬間には小円周とy=1は１点でしか接しません。
滑るというのは、接してはいますが、接着はしていないのです。

滑らかな曲線である円で考えるから混乱するのですが、例えば正方形で考えてみてください。
正方形が滑らずに90度回る時も、滑りながら90度回る時も、移動距離は違いますが接している頂点は共通ですよね。

お礼

回答ありがとうございます。正方形のイメージは分かりやすいですね。
滑る場合でも、ある瞬間には小円周とy=1は１点でしか接しません。とすると
y=1上にある平面が右のほうに一緒に動いているという感じでしょうか?

滑らずにということは、円周と移動距離が等しい、という意味です。←は納得しております。

補足

滑るという現象を直感的にイメージすると、例えばコインを回転させず平行移動するような感じととらえていました。
この場合も、ある瞬間には円と直線は1点でしか接していません。ただ円のある点Pが直線上の線分に連続して接していきます。こんなイメージを滑ると感じていたわけです。

回答No.4

WiredLogic

普通の言葉で言えば、

車や自転車のタイヤが回転したとき、

車や自転車が、ちゃんとその分だけ、前進していれば、
タイヤは、「完全に」「転がっている」。

アイスバーンでブレーキをかけたときのように、
タイヤはロックして、回転してないのに、
車や自転車が前進したり、横滑りしたりする、
このときは、「完全に」「滑っている」

雪道などで、最初アクセルを踏んだとき、
ちょっとタイムラグがあって、前進を始めたとき、
それらの中間の状態で、少し「滑っている」

「完全に転がっている」とは、
タイヤが回転した角度を中心角とする扇形の弧の長さと、
車などが前進した距離が、同じ、ということです。

お示しの図では、円の中心間の距離は、小さい円の
直径の３倍くらいに見えます、

つまり、中心の移動距離＝小さい円の円周＜大きい円の円周
(円周＝１周360度の中心角に対する扇形の弧長)、ですから、

小さい円は、ちゃんと「転がっている」のに対し、
大きい円は、少し(かなり?^^)「滑っている」ことになるかと思います。

このあたりを体感したければ、模型屋さんなどで、
ラックギア(棒の片側に歯が刻んであるタイプの歯車、車じゃないけど^^)を２本と、
大きさの違うギア(こちらは普通の歯車)を１つずつ買ってきて、
２つのギアの軸を繋いで、それぞれラックギアに噛ませて、動かしてみると
解りやすいと思います。

２つのギアがフリーに動けるように軸を繋げば、それぞれが違う速さで回る
のが解ります。これをやると、お示しの図で言えば、移行後のa点は、図の真上
(大きい円の半径は小さい円の２倍という設定でしょうから)となりますし、

２つのギアが固定されて勝手に動けないようにすると、歯車は「滑れない」ので、
全然動かせなくなります。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

＞アイスバーンでブレーキをかけたときのように、
＞タイヤはロックして、回転してないのに、
＞車や自転車が前進したり、横滑りしたりする、
＞このときは、「完全に」「滑っている」
この場合、タイヤの1点（地面と接している点は）地面上の線と連続して接してますよね。

＞雪道などで、最初アクセルを踏んだとき、
＞ちょっとタイムラグがあって、前進を始めたとき、
＞それらの中間の状態で、少し「滑っている」
この場合、地面の1点はタイヤの円弧と連続して接してますよね。

何が言いたいかというと、タイヤの1点と地面の線分　もしくは　タイヤの円弧と地面の1点
点と点の1対1対応ではないということ。直感的に滑っているなぁと分かります。

もとの問題の小円と直線は完全に点と点の1対1対応と思えるのです。なので滑っているとなかなかつかめなかったわけです。

もちろん、滑らないの意味をNo1さんとするなら。元問題は滑っています。（私も同意します）

回答No.3

misawajp

前提が成立しません　思い込みで判断力が落ちています

大きい円がｙ＝０を滑らずに動いたとき
小さい円が　ｙ＝１を滑らすに動けば　　大きい円とずれます

大きい円と小さい円がずれなければ　Y=1またはY=0　上で滑っています

お礼

回答ありがとうございます。が、質問の回答になっておりません。
滑らずにの意味はNo1,No2さんと同じ意見ということですか？

私は甥に、できるだけ数学的に正確に答えようとして墓穴を掘ったわけです。
私が数学的に答えようとした内容　滑らずの意味＝円周上の任意の点Pは直線状y=1上の1点としか接しない。

回答No.2

86tarou

滑らずに…＞
１回転した時に円周と移動距離が同じということです。

半径１と２のコインの円周はそれぞれ２πと４πです。Ｘ＝４πですから大きい方は１回転、小さい方は２回転して元と同じ水平位置に戻ってるだけなのでは？

お礼

回答ありがとうございます。
小さいほうも1回しか回りません。大小のコインは接着剤でくっつけていると思ってください。

回答No.1

DJ-Potato

滑らずに、ということは、円周と移動距離が等しい、という意味です。

半径2のコインとy=0
半径1のコインとy=1
半径2のコインと半径1のコイン

どこかで滑っているはずですね。

お礼

回答ありがとうございます。やはり滑っているのですね。歯車で考えるとスムースには動きませんのであたりまえの気もします。
ただ、すべるとしたら、小さな円の円周上にある点Pは、y=1上の1点ではなく複数点（正確には範囲）と接すると思いますが、どう考えても小円周上の1点はy=1上の1点としか接しません。
上記のように考える事がそもそも変なのでしょうか？