円周について

質問

テレビの何かの番組で言っていたのですが、答えは聞かないままでした。判らなくて気になります。お教えください。
　２つの同心円を描きます。それぞれの下部に接線を水平に引きます。そこで２つの同心円を１回転させます。つまり、車のタイヤとホイールの関係を考えてください。
はじめの接点から１回転したあとの接点の距離はそれぞれの円の円周となるはずです。ところがホイルの方の円は小さいのでタイヤの円周より短くあるべきなのに１回転した点から点の長さは同じ長さの平行線です。これはどう考えればよいのでしょうか。数学の苦手な私に判るようにお願いします。

回答No.6

TCM · ベストアンサー

#2で回答したTCMでございます。ホイールの下端接点がホイール上の点と対応しながらも実体のないものという観点から、#2の写像という回答を提示したのですが、現実から乖離しすぎてわかりにくいので、今回は物理的な回答をいたします。

　まず、タイヤの半径をR、ホイールの半径をrとします。タイヤがほんの少し（微小角dθ）だけ回転すると、このタイヤはRdθだけ移動します。Rdθは円弧の長さです。ここで気をつけないといけないのは、タイヤの中心も、ホイールの下端接点も、タイヤの下端接点もみんなRdθだけ移動するということです。それは、なぜか？　逆説的ですが、中心や接点はそのような点だからです。半径と円周を結ぶ直線はその接線と垂直ですからね。

　そうすると、微小回転後にホイールの下端接点にやってきた点は、この回転によってrdθだけ移動してきたのですが、これではRdθにちょっと足りない。そう、その足りないRdθ－rdθ＝(R－r)dθの分だけ横滑りして、今下端接点になっているのです。というわけで、半径上の任意の点の横滑り距離ｓは
　　ｓ＝∫(R－r)dθ　　　（積分範囲は０からφとする）
　　　＝(R－r)φ
となります。この式から、タイヤの中心（r＝０）はRφだけ横滑りし、タイヤの下端接点（r＝R）は横滑りなしということもわかります。いかがでしょうか？

お礼

数学が苦手な私には難解でしたが、これで一応、大きい円の中心点も小さい点の中心点も同じように移動しているのに、（私にはそう思えた！？）小さい円の中心点だけ横滑りしているかの証明になっていることが何となくわかりました。感覚的にはたぶん小さい円は横滑りしているのだろうと考えていましたが…。長い間期になっていた私の頭のもやもやは取りあえず消えました。ありがとうございました。

回答No.5

futaroh

お答えします。

この小さいほうの円は実は線上を‘すべって’いるのです。
質問でもかかれているとおり、当然、
小さい円の円周＜大きい円の円周
ですから、滑らなければ小さい円の方がすすむ距離が小さくなります。しかし、物体は大きい円の動きに合わせていますから、小さい円は滑らせながら移動していくことになります。

よろしいですしょうか？

回答No.4

okami3

mizushiさんが答えられているように、水平と回転の両方の動きが小さい円にはあります。
同心円なので、接点が描く軌跡は、円の中心が描く軌跡と同じになりますよね。中心と、二つの円の接点を結んだ直線を、そのまま移動させたような感じです。

ホイールの方が短くしか進まなかったら、タイヤは大変なことになってしまいますよね・・・。

お礼

ありがとうございました。感覚的にはそういうことだと思っていたのですが、それをのきちんとした証明がみたかったのです。

回答No.3

mizushi

mizushiと申します。
他の方も答えてますが大きな円は回転運動だけですが、小さな円は「回転運動」と「水平方向への移動」と２種類の動きを同時に行っているのです。

丸いものは錯覚がおきやすいので不思議ですね。

回答No.2

TCM

TCMと申します。確かに不思議ですね。しかし、これは、
>はじめの接点から１回転したあとの接点の距離は
>それぞれの円の円周となるはずです。
というところにトリックがあります。確かにタイヤは地面と接していますので、１回転すると円周分だけ進みます。でも、ホイルの方はその接線上で転がっているわけではありませんので同じにはならないはずです。回転しているホイルの下端の軌跡の長さがタイヤの円周の長さと等しいだけです。
　これは、35mmフィルムを何ｍにも引き伸ばす映写機と同じように、ホイルの円周を軌跡の上に引き伸ばした感じ、というと分かりやすいでしょうか。数学的表現をすると写像です。（ちょっと自信なし）

回答No.1

noname#151056

数学的な考え方はできていないんですが、、、(^^;;
こう考えるとどうでしょう。
まず、「同じ」線の上で、大きな円と小さな円を一回転させる。
当然大きな円のほうが遠くへ行きます。
この一回転後の大小の円の距離の差がありますが、
同じ時間内にこれだけ円の中心の移動距離が違うということですよね。
で、同心円にして回転してみますと、大きな円が回ったとき、
中心が移動します。小さな円が回っても中心は移動するのですが、
大きな円の回転によってもっと速く中心が移動させられてしまいます。
つまり小さな円は、ずりずりとひきずられながら回ってるという
ことになります。
ということで、小さな円のほうの接線は、円周にはなりません。
すんごく中心点に近い小さな円を考えてみると、ひきずられていくのが
イメージできるのではないでしょうか。

お礼

そうですね、大きな円を回転した中心点の移動距離と小さい円の中心点の移動距離を比べてみればいいのですよね。
その差が中心点の横滑りと言うことですね。感覚的には私に一番納得できる回答です。ありがとうございました。