数学IIIの積分の問題がわかりません。

質問

添付してある画像の数学IIIの教科書の章末問題がわかりません。
まず、x=sinθとy=sin2θのグラフがなぜ図のようになるのかからわかりません。
考え方だけでよいのでどなたか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

グラフの形状は、媒介変数θを消去「y=f(x)」の形に直して増減表を作れば明らか。
x=sinθ, θ=0→π/2 の時 x=0→1
0≦θ≦π/2のとき,0≦x≦1,0≦cosθ≦1
cosθ=√{1-(sinθ)^2=√(1-x^2)
y=sin(2θ)=2sinθcosθ=2x√(1-x^2) (0≦x≦1)
この関数の増減表を作りグラフを描けば形状が分かるでしょう。
y'=-2(2x^2-1)/√(1-x^2)=0を満たすxを(0≦x≦1)の範囲で求めると
x=1/√2
このxの時、yは極大（最大）となり、極大値=1を得る。

求める回転体の体積Vは以下のとおり、
V=π∫[0→1] (y^2)dx
=π∫[0→π/2] {(sin(2θ))^2}d(sinθ)
=π∫[0→π/2] (1/2){1-cos(4θ)}cosθdθ
=(π/2)∫[0→π/2] {cosθ-cos(4θ)cosθ}dθ
=(π/2)∫[0→π/2] [cosθ-(1/2){cos(5θ)+cos(3θ)}]dθ
=(π/2) [sinθ-(1/2){(1/5)sin(5θ)+(1/3)sin(3θ)}] [0→π/2]
=(π/2) [1-(1/2){(1/5)-(1/3)}]
= ...
後の計算はご自分でおやり下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
y=2x√(1-x^2)の微分が上手くいきません。
これって積の微分の公式をつかいますよね？
すると、y'=(2x)'(√1-x^2)+(2x)(√1-x^2)'となって
y'=-x^3-4x^2+x+2√1-x^2になってしまうのですが・・・

回答No.6

nag0720

回転体の体積は、y=2x√(1-x^2)から求めることもできます。
V=π∫[0→1] (y^2)dx
=π∫[0→1] 4x^2(1-x^2)dx
=4π∫[0→1] (x^2-x^4)dx
=4π[x^3/3-x^5/5][0→1]
=4π(1/3-1/5)
=8π/15

お礼

回答ありがとうございます。
別解もあるのですね。これも参考にしてみます。

回答No.5

info22

#4です。

補足質問の回答

> y=2x√(1-x^2)の微分が上手くいきません。
> これって積の微分の公式をつかいますよね？
積または商の微分公式を使います。

>すると、y'=(2x)'(√1-x^2)+(2x)(√1-x^2)'となって
>y'=-x^3-4x^2+x+2√1-x^2になってしまうのですが・・・
途中、暗算で手抜きして計算ミスしているようです。

ちゃんと手抜きしないで計算すると正しい結果が得られます。

y'=(2x)'(√(1-x^2))+(2x)(√(1-x^2))'
=2(√(1-x^2))+(2x)(1/2){(1-x^2)^(-1/2)}(-2x)
=2(√(1-x^2))-2(x^2)/√(1-x^2)
=2{(1-x^2)-x^2}/√(1-x^2)

=2(1-2x^2)/√(1-x^2)

お礼

再びの回答ありがとうございます。
info22さんのおかげで無事解答にたどりつくことができました。
感謝しています。ありがとうございました。

補足

原因はおっしゃる通り、計算ミスでした。
微分した時の指数をつけ忘れてました。

回答No.3

debut

グラフの形はθを消去してやってみれば
0≦θ≦π/2で、cosθ=√(1-sin^2θ)＝√(1-x^2)
y=sin2θ=2sinθcosθ=2x√(1-x^2)
（変域は、1-x^2≧0とx≧0より0≦x≦1）
のグラフとなります。
微分して調べればx=1/√2で極大値１がわかるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
増減表も書くことができました。

回答No.2

4028

Ｖ＝∫ｙ^2 dx です。

ここに
y=sin2θ
と
xをθで積分して
dx=cosθdθ
を代入して計算すれば答えがでます。

お礼

回答ありがとうございます。
他の方の解答とあわせて解くことができました。

回答No.1

uyama33

グラフの形は、
θに値を入れて、ｘ、ｙを計算する。
得られた座標を細かく座標平面に書き入れてみる。
そうすると、問題のグラフが出てくる。

お礼

回答ありがとうございます。
グラフ、なんとか書くことができました。